Sa se arate ca functiile sunt (sau nu sunt) dependente functional pe

:

,

,

,

.



Sa se determine extremele cu legaturi ale functiilor urmatoare:

a)

, pentru

b)

, cu

si

V-as fi recunoscator daca m-ati putea ajutea cu rezolvarea acestor exercitii.

[Citat] Sa se arate ca functiile sunt (sau nu sunt) dependente functional pe : , , ,

Revino cu definitia exacta a "dependentei functionale", asa cum a fost introdusa la curs.

Daca este ce banuim noi, trebuie sa arati ca Jacobianul functiei

este egal cu zero pe

, ceea ce nu este o problema.

Dependenta functionala:
Fie

o multime nevida si

, functii definite pe

si cu valori in

. Se spune despre o functie

ca depinde (sau este dependenta) functional (sau ca este functional-dependenta) de

pe

(cu

), daca, oricare ar fi

, exista o vecinatate

si o functie

, unde

este o vecinatate a punctului

astfel incat:

, pt oricare

.

[Citat] Sa se arate ca functiile sunt (sau nu sunt) dependente functional pe : , , , .

Functiile date sunt diferentiabile (exceptand cea de a doua functie care nu este diferentiabila in origine). Jacobianul

este egal cu

si are determinantul constant zero pe

. Este posibil, deci ca functiile sa fie dependente functional (conform teoremei de inversare locala). Deoarece

rezulta

Daca consulti cursul, este posibil sa ai o teorema care leaga acest fapt de rangul jacobianului. In acest caz, nu mai este nevoie sa "ghicim" relatia de mai sus.

[Citat] Sa se determine extremele cu legaturi ale functiilor urmatoare: a) , pentru

determinam punctele critice ale functiei

Avem

Sistemul are solutia unica

. Am gasit unicul punct critic

. Nu este greu de vazut ca

este punct de minim local conditionat, iar

De exemplu, un argument standard ar fi: daca

atunci

, in caz contrar punctul

se afla in interiorul multimii compacte

unde functia (continua!) are atat un mimim cat si un maxim conditionat.

[Citat] b) , cu si

Poti "rade" logaritmul, deoarece acesta este o functie strict crescatoare. Ca mai sus, cu metoda multiplicatorilor lui Lagrange, constati ca singurul punct critic al functiei

este dat de

. Functia are un maxim local conditionat