Fie triunghiul ABC in care se cunosc urmatoarele:unghiul A 30 grade,unghiul C 15 grade iar D este mijlocul lui AC.Aratati ca unghiul CBD are masura de 30 grade.

Draguta problema....

N-are nimeni nicio idee?

Din teorema sinusurilor in ABC avem

. Deci

. De asemenea in triunghiul BDC avem

adica

. Cum BD e mediana avem

adica

.
In final

de unde

deci

.

Felicitari!

O solutie ca la clasa a 7 a:
Ducem bisectoarea AE a unghiului A cu E pe BC.Triunghiul AEC este isoscel,deci ED este perpendiculara pe AC.Ducem inaltimea BF cu F pe AC.In triunghiul ABF avem cu teorema unghiului de 30 ca

(1)Cu teorema bisectoarei avem

iar cu Thales in triunghiul BFC ,DE//BF avem

deci

(2)Din 1 si 2 deducem ca

deci unghiul FBD are 45 de grade.Cum unghiul ABF are 60,iar ABC are 135 inseamna ca CBD are

Construim punctul E, piciorul perpendicularei din C pe dreapta AB.

• Triunghiul EBC este dreptunghic isoscel.
  
• Triunghiul EDC este echilateral
  
• Prin urmare triunghiul BED este isoscel, cu unghiul E de 30 de grade.
  
• Unghiul cautat este de masura 75-45=30 grade.
  

Ca fapt divers, configuratia din problema se regaseste intr-un poligon regulat cu 12 laturi:

Punctul B este punctul de intersectia a patru diagonale. Trei dintre ele sunt concurente in ortocentrul triunghiului verde, iar a patra trece prin acelasi punct din motive de simetrie fata de dreapta albastra punctata. Punctul D este intersectia diagonalelor unui paralelogram, etc.