Fie

.
a) sa se studieze derivabilitatea Gateaux si diferentiabilitatea Frechet a lui f pe Ker(f);
b) Sa se arate ca jacobiana functiei f exista si este singulara in orice punct din

.

Ma puteti ajuta cu aceasta problema va rog?

[Citat] Fie . a) sa se studieze derivabilitatea Gateaux si diferentiabilitatea Frechet a lui f pe Ker(f); b) Sa se arate ca jacobiana functiei f exista si este singulara in orice punct din . Ma puteti ajuta cu aceasta problema va rog?

a) Banuiesc ca prin Ker(f) notati

. Cum

, rezulta Ker(f)=(0,0,0).

Daca functie f este derivabila Frechet atunci fiecare din componentele lui f are derivata partiala in raport cu fiecare din variabile. Dar functia

nu are derivate partiale in (0,0,0), deci f nu este derivabila Frechet pe Ker(f).

Presupunem ca exista

astfel incat f sa aiba derivata Gateaux in punctul (0,0,0) in directia lui (u,v,w). Atunci exista limita

Contradictie, caci limita componentei din mijloc nu exista (limitele la stanga si la dreapta sunt diferite).

Comentariu: Notatia Ker(f) se foloseste de obicei pentru functii lineare!

b) Banuiesc ca prin

notati originea.

Calculand succesiv derivatele partiale obtinem Jacobianul

Determinantul Jacobianului este (factor comun pe primele doua coloane si scadem prima linie din urmatoarele)

Daca enuntul este intr-adevar cel de mai sus, avem cateva comentarii:

• Notatia Ker(.) se foloseste pentru nucleul aplicatiilor liniare. Nu este cazul aici.
  
• O functie diferentiabila Frechet intr-un punct este automat diferentiabila Gateaux in acel punct. O functie diferentiabila Gateaux intr-un punct are automat derivate partiale. Reciprocele nu sunt adevarate. daca, in schimb, derivatele partiale sunt continue intr-un punct, atunci functia este diferentiabila Frechet.
  
• Cum a "ghicit" propunatorul problemei faptul ca Jacobianul este singular? Pur si simplu, functia F "depinde de numai doua variabile". Daca notam
  
  
  
  atunci
  
  
  
  Intuitiv functia nu este local inversabila nicaieri, deci Jacobianul trebuie sa fie singular.