1.
Sa se arate k grupul (Z,+)nu poate fi organizat ca spatiu vectorial peste un corp de forma (Z_p,+,*) cu p numar prim.

2.
Sa se determine toate polinoamele f apartine lui R[X]cu proprietatea f(Z)inclus in Z.

3.
Sa se determine toate functiile f:R->R cu proprietatea f(x+y)=f(x)+f(y), oricare ar fi x si y in R

[Citat] 3. Sa se determine toate functiile f:R->R cu proprietatea f(x+y)=f(x)+f(y), oricare ar fi x si y in R

Nu avem nici o ipoteza asupra functiei f, gen monotonie, continuitate, marginire? Problema parca este prea dura pentru o tema, intr-o asemenea generalitate.

Iata totusi o schita de solutie pentru cazul in care profesorul vrea sa testeze notiunea de baza intr-un spatiu vectorial.

Fie

. Se demonstreaza

• prin inductie dupa n natural ca pentru x real avem f(nx)=nf(x)
  
  
• f(-y)=-f(y) si de aici ca f(nx)=nf(x) pentru orice n intreg si x real
  
  
• luand x=y/n in egalitatea precedenta, f(y/n)=f(y)/n pentru orice y real si n intreg nenul
  
  
• pentru y =mz, din precedenta avem f(zm/n)=f(z)m/n, adica f(pz)=pf(z), pentru orice z real si p rational
  

Atunci restrictia lui f la aQ este de forma f(aq)=f(a)q.

Conform axiomei alegerii exista o baza

a spatiului vectorial

peste

.
Definim f in mod arbitrar pe B si apoi pentru x real exista numere rationale

astfel ca

. Definim atunci

si obtinem o functie aditiva.

Observam ca ecuatia functionala are astfel o multime infinita nenumarabila de solutii.

[Citat] 2. Sa se determine toate polinoamele f apartine lui R[X]cu proprietatea f(Z)inclus in Z.

Fie f un asemenea polinom de grad k,

. Scriind faptul ca f(0), f(1),..., f(k) sunt numere intregi, sub forma unui sistem de k+1 ecuatii cu k+1 necunoscute (coeficientii lui f), deducem faptul ca f are coeficienti rationali.

Pentru orice numar natural n, notam

. Sa observam ca pentru m natural m<n avem

, iar pentru m natural

avem

. Pentru m numar negativ, m=-p, avem

, deci

.

Sa mai observam ca aceste polinoame sunt o baza a spatiului vectorial

peste

Demonstram ca polinoamele cautate sunt combinatiile liniare cu coeficienti intregi ale polinoamelor

. Orice asemenea combinatie satisface conditia din enunt. Reciproc, daca f este un polinom de grad k care satisface conditia din enunt, atunci exista

astfel ca

. Dand succesiv lui x valorile 0,1,2...,k si folosind ipoteza din enunt rezulta ca

[Citat] 1. Sa se arate k grupul (Z,+)nu poate fi organizat ca spatiu vectorial peste un corp de forma (Z_p,+,*) cu p numar prim.

Presupunem ca avem o asemenea structura de spatiu vectorial pe Z. Atunci

Contradictie, caci

.