Studiati monotonia si marginirea sirurilor urmatoare si determinati-le limita:
a)Xo=1,Xn=radical din (aXn-1),a>0
b)Xo=radical din a,Xn=radical din (a+Xn-1),a>0
c)Xo=0,Xn=1/2(a+Xn-1^2),a apartine (0,1)
d)x apartine R,Xn<=Xn-1+1/n^2
Ajutati-ma si pe mine ca nu mai tin minte chestiile elementare din cls a XI-a.va multumesc

[Citat] Studiati monotonia si marginirea sirurilor urmatoare si determinati-le limita: a)Xo=1,Xn=radical din (aXn-1),a>0 b)Xo=radical din a,Xn=radical din (a+Xn-1),a>0 c)Xo=0,Xn=1/2(a+Xn-1^2),a apartine (0,1) d)x apartine R,Xn<=Xn-1+1/n^2 Ajutati-ma si pe mine ca nu mai tin minte chestiile elementare din cls a XI-a.va multumesc

Hai sa vedem daca ghicim exercitiile pe care le doriti rezolvate in format LaTeX.

a)Fie a>0. Studiati convergenta sirului definit prin

b)Fie a>0. Studiati convergenta sirului definit prin

c)Fie

. Studiati convergenta sirului definit prin

d)x apartine R,Xn<=Xn-1+1/n^2

Punctul d) nu-l inteleg deloc. Este scris neglijent si nu are sens.

a),b),c) le'ati scris corect...dar vreau si rezolvarile :D.Si d) suna cam asa:
d)Xo este numar real,Xn mai mic sau egal decat Xn-1 + 1/n^2

(a) Se pare ca avem de luptat cu sirul

Lucru care se poate enunta in generalitatea corespunzatoare, iar apoi demonstra prin inductie. Deoarece functiia putere estte continua, iar "seria geometrica" din exponent converge la unu, rezulta ca limita siirului este

(b) Se demonstreaza "usor prin inductie" caa sirul dat este crescator. Un argument "empiric", inacurat insa, este:

Mai bine insa: Se observa ca

iar inductiv, pentru orice numar natural

,
din

rezulta,
aplicand functia strict crescatoare

inegalitatea

.

Mai demonstram ca sirul dat este marginit si converge la "punctul fix" al functiei f. Rezulvam de aceea mai intai ecuatia f(x)=x. Solutia POZITIVA este

De fapt, trebuie clarificate punctele:

, orice..., lucru care rezulta usor inductiv.

Sirul dat fiind crescaator si marginit superior, este convergent. Fie

limia lui.

Trecand la limita in relatia de recursiune ce definieste sirul, avem:

Din

si

Rezulta imediat

[Citat] d)Xo este numar real,Xn mai mic sau egal decat Xn-1 + 1/n^2

Acest enunt este sa zicem incomplet. Ipotezele sunt prea slabe ca sa speram la o concluzie. De exemplu sirurile urmatoare verifica ipotezele:

• 
  
  
  
• Fie a un numar real fixat si
  

deci putem obtine orice limita dorim (in afara de infinit) cu siruri satisfacand conditiile.

[Citat] c)Fie . Studiati convergenta sirului definit prin

Se demonstreaza prin inductie ca:

• 
  
  
• 
  este un sir crescator
  

Fiind monoton si marginit, sirul este convergent. Fie

. Trecand la limita in relatia de recurenta din enunt obtinem

. Aceasta ecuatie are radacinile

. Dar din

rezulta

. Cum

, limita sirului este in mod necesar