Aratati folosind Lema lui Stolz urmatoarele implicatii:
a)dc Xn tinde la X,atunci rezulta ca (X1+X2+...+Xn)/n tinde tot la X
b)dc Xn+1/Xn tinde la L,Xn>0 atunci radical de ordinul n din Xn tinde tot la L

[Citat] Aratati folosind Lema lui Stolz urmatoarele implicatii: a)dc Xn tinde la X,atunci rezulta ca (X1+X2+...+Xn)/n tinde tot la X b)dc Xn+1/Xn tinde la L,Xn>0 atunci radical de ordinul n din Xn tinde tot la L

Teorema Cesaro-Stolz
Fie

un sir iar

un sir strict monoton nemarginit. Daca exista

atunci exista

si este egala cu

.

O demonstratie o gasiti la http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=8337

Comentariu: Aceasta teorema poate fi considerata forma discreta a teoremei lui l'Hopital.

Corolar: Fie

un sir de numere pozitive, convergent catre

. Atunci media aritmetica

, media armonica

si media geometrica

a primilor n termeni ai sirului converge catre x.


Demonstratie: Luand

si

, direct din teorema Cesaro-Stolz
rezulta

. Apoi observam ca

In final aplicam criteriul clestelui inegalitatii mediilor

Sa observam ca pentru convergenta mediei aritmetice sirul poate avea si termeni negativi.

Teorema Cauchy-D'Alembert: Daca

este un sir de numere pozitive nenule astfel incat exista limita

, atunci

Demontratie: Punem

si atunci

, conform corolarului teoremei Cesaro-Stolz.