Date fiind seriile

si

sa se gaseasca produsul lor Cauchy.Cum se rezolva acest exercitiu? pls

Sa se arate ca sirul

este asa incat seria

este convergenta, atunci este convergenta si seria

[Citat] Date fiind seriile si sa se gaseasca produsul lor Cauchy.Cum se rezolva acest exercitiu? pls

Definitia produsului Cauchy o puteti gasi de exemplu la

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product

Fie

si

. Folosind faptul ca

deducem

Fie x numar real cu |x|<1. Derivand identitatea

obtinem

, de unde

. In particular, pentru x=1/2, avem

Produsul Cauchy al seriilor din enunt este seria

, unde

. Conform teoremei lui Mertens, deoarece seria

este convergenta, iar seria

este absolut convergenta (serie convergenta cu termeni pozitivi), rezulta ca seria

este convergenta si are suma

Pentru unele serii date se poate exprima intr-un mod destul de simplu termenul general al produsului Cauchy. Nu vad cum am putea face asa ceva in cazul de fata.

[Citat] Sa se arate ca sirul este asa incat seria este convergenta, atunci este convergenta si seria

Avand toti termenii pozitivi, pentru a arata ca seria

este convergenta, este suficient sa aratam ca sirul seriilor partiale este marginit.

Fie

. Atunci

.

Solutia problemei se bazeaza pe inegalitatea lui Carleman

O puteti gasi de exemplu la http://en.wikipedia.org/wiki/Carleman's_inequality, dar studentii care au dat Bacalaureatul M1_1 in vara anului 2007 o pot regasi si drept Varianta 74, subiectul IV g, cu demonstratia completa aici pe pro-didactica.ro.

Pentru

, inegalitatea lui Carleman conduce la

, ceea ce incheie demonstratia.