Va rog frumos sa ma ajutati si pe mine cu rezolvarea unor probleme!
1) Fie A = RxR. Pentru orice a apartine R, fie functia f indice a apartine lui
F (A)definita prin:
f indice a (x,y)=(x + ay + a la puterea a doua supra 2,y+a), orice(x,y)apartineA=RxR
fie M= acolada f ind. a/ a apartine lui R inchidem acolada.
i) aratati ca f ind. a cerculet f ind.b = f ind. a-b.
ii)Aratati ca f ind.-a este inversa lui f ind. a.
iii) determinati a apartine lui R daca f ind.a cerculet f ind.3=f ind.7
2)Fie (R,+,x)un inel. Consideram pe R legile de compozitie "T" si T-ul invers (nu stiu cum sa-l scriu)definite prin:
a T b = a + b - 1
a T (invers) b = a + b - ab.
Aratati ca (R,T,T(invers)) este inel.
3) Fie A apartine M ind.3(Z), A= paranteza mare 0 2 1
0 0 -5
0 0 0 inchidem paranteza mare.
Aratati ca A la puterea 3 =O si (I ind.3 + A)(I ind.3 - A + A la put.2=I ind.3
4) Fie R= acolada, paranteza mare a b
0 a inchidem paranteza |a.b apartine lui Z
inchidem acolada.
Aratati ca R formeaza inel in raport cu adunarea si inmultirea matricelor. Determinati elementele inversabile ale inelului R.
5)Fie R =Z x Z. Pe R consideram legile de compozitie "T" si T-ul invers definite prin:
(a,b) T (c,d)= (a+c,b+d)
(a,b)T-ul invers (c,d)= (ac,ad + bc).
Aratati ca (R,T,T-ul invers)este inel si daterminati elementelesale inversabile.
6)Fie R = acolada paranteza mare a -b
b a inchidem paranteza mare |a,b apartine lui
Z inchidem acolada.
Aratati ca R formeaza inel comutativ si fara divizori ai lui zero in raport cu adunarea si inmultirea matricelor.
7)Fie a apartine lui Z ind.8, a = 2 si are cacilita ca la i.
Aratati ca a la puterea 3 = 0 (cacilita)si( I(caciulita) + a)(I(caciulita)-a + a la puterea 2)= I (caciulita).
8) Pe R = ZxZ definim legile de compozitie "T" si T-ul invers prin:
(a,b)T (c,d)= (a + c, b + d)
(a,b)T-ul inv. (c,d) = (ac - bd, ad + bc)
Aratati ca (R,T, T-ul.inv.) este inel comutativ si fara divizori ai lui zero.
9)Fie (R.+,x)un inel si a,b aprtine R.
Folosind distributivitatea inmultirii fata de adunare, calculati in doua moduri produsul (1 + a)(1 + b) si deduceti ca, intr-un inel, comutativitatea adunarii este consecinta a celorlalte axiome ale inelului.

Cu stima si va multumesc din suflet!

Va rugam sa aveti rabdare o zi. Daca nu posteaza nimeni rezolvari vi le punem maine.

[Citat] 1) Fie A = RxR. Pentru orice a apartine R, fie functia f indice a apartine lui F (A)definita prin: f indice a (x,y)=(x + ay + a la puterea a doua supra 2,y+a), orice(x,y)apartineA=RxR fie M= acolada f ind. a/ a apartine lui R inchidem acolada. i) aratati ca f ind. a cerculet f ind.b = f ind. a-b. ii)Aratati ca f ind.-a este inversa lui f ind. a. iii) determinati a apartine lui R daca f ind.a cerculet f ind.3=f ind.7

i) Este o greseala in enunt. Trebuie ca

.
Avem

ii)

.
Analog,

.

iii) Avem

.
Conform cu i),

.
Atunci,

2) Trebuie sa verifici axiomele inelului pentru cele doua legi de compozitie.


3)

.

,

4)

.
Trebuie mai intai de aratat ca R este parte stabila a lui

in raport cu adunarea si inmultirea.

grup comutativ.
- comutativitatea si asociativitatea sunt proprietati ale adunarii matricelor din

si raman valabile pentru orice parte stabila a lui

, deci si pentru

.
- pentru

se obtine matricea nula care este element neutru.
- pentru orice matrice A, opusa ei, -A, apartine lui R.

monoid.
- asociativitatea inmultirii matricelor ramane valabila si pentru o parte stabila a lui

.
- pentru

se obtine matricea unitate de ordinul 2, care este element neutru.

Distributivitatea inmultirii fata de adunare ramane valabila si pentru partea stabila.

Matricele inversabile din R sunt cele pentru care determinantul este nenul, adica

.