Intrebarea se refera la urmatoarea problema : intre orice doua numere reale distincte exista cel putin un numar rational.

Eu m-am gandit la urmatoarea rezolvare : fie x1 si x2 cele 2 numere reale. Daca [x1]-[x2]>0 atunci numarul rational poate fi ales astfel: se aproximeaza prin trunchere cu o zecimala exacta x2 la care se adauga 0,1
Daca [x1]=[x2] si {x1}=0,a1a2...ak... si {x2}=0,b1b2...bk... consideram cazul a1>b1 atunci numarul ratioanl este q cu [q]=0 si {q}=0,mn unde mn=(a1a2+b1b2)/2
Rationamentul se continua si pentru primele k zecimale identice ... etc.

Exista vre-o metoda "clasica" sau una mai eleganta ptr a demonstra aceasta problema ?

[Citat] Intrebarea se refera la urmatoarea problema : intre orice doua numere reale distincte exista cel putin un numar rational. Eu m-am gandit la urmatoarea rezolvare : fie x1 si x2 cele 2 numere reale. Daca [x1]-[x2]>0 atunci numarul rational poate fi ales astfel: se aproximeaza prin trunchere cu o zecimala exacta x2 la care se adauga 0,1 Daca [x1]=[x2] si {x1}=0,a1a2...ak... si {x2}=0,b1b2...bk... consideram cazul a1>b1 atunci numarul ratioanl este q cu [q]=0 si {q}=0,mn unde mn=(a1a2+b1b2)/2 Rationamentul se continua si pentru primele k zecimale identice ... etc. Exista vre-o metoda "clasica" sau una mai eleganta ptr a demonstra aceasta problema ?

Fie

cele doua numere reale. Atunci exista un numar natural

. Un exemplu de numar rational intermediar este:

Problema este intr-adevar mai subtila decat pare.

Luam de la cele doua numere, atatea zecimale exacte , cate sunt necesare pentru a putea face distinctie intre ele.Media aritmetica a acestor numere obtinute, este unul din numerele rationale cuprinse intre cele doua numere reale.(Luand cate o zecimala in plus celor doua numere, se pot obtine de fiecare data alte nr.rationale, in acelasi mod, numere care alcatuiesc un sir de numere rationale ce are toti termenii cuprinsi intre cele doua numere reale.Evident, limita acestui sir este media aritmetica a celor doua numere reale. Si acest sir nu este unic, mai sunt doar... o infinitate de astfel de siruri de numere rationale cuprinse intre cele doua numere reale! Ele se pot obtine ca mai sus inlocuind media aritmetica a celor doua aproximari a numerelor reale, cu media ponderata a lor cu ponderi arbitrare.)

Putem arata oare ca nu exista nici un numar real k pentru care numarul radical de ordinul k din n! este irational, oricare ar fi numarul natural n mai mare sau egal decat 2 ?

[Citat] Putem arata oare ca nu exista nici un numar real k pentru care numarul radical de ordinul k din n! este irational, oricare ar fi numarul natural n mai mare sau egal decat 2 ?

Enuntul nu ar arata mai bine asa?
Putem arata ca exista doua numere naturale n si k, mai mari sau egale cu doi,astfel incat radical de ordinul k din n! sa fie numar rational?
Pentru acest enunt, raspunsul este NU.Acesta e justificat de existenta numarului radical de ordin k din p, unde p este cel mai mare numar prim mai mic sau egal cu n ( evident p este la puterea intai).Acest numar este evident irational, si inmultit cu radical de ordinul k din (n!/p), va fi tot numar irational.

Daca p=n atunci este ok rationamentul ....insa daca p<n atunci cine ne garanteaza ca intre p si n nu mai exista numere care sa contina in descompunerea lor inca k-1 de p ?

[Citat] Putem arata oare ca nu exista nici un numar real k pentru care numarul radical de ordinul k din n! este irational, oricare ar fi numarul natural n mai mare sau egal decat 2 ?

Expresia

spune in mod implicit ca numarul k este natural. Or, in enunt acel numar este real. Iar in acest caz, daca am inteles bine, enuntul este fals. Exista o infinitate de numere reale k cu proprietatea ca

este neatentia mea cand am scris enuntul : a se citi "rational" in loc de irational. cu aceasta "erata" putem face vre-o demonstratie ? corectez deasemenea scrierea cu radical care nu este corecta astfel: ramane neschimbat pentru k din N si se rescrie sub forma de putere pentru k din Q . macar atat si apoi mai vedem ce se intampla cu o putere irationala

[Citat] este neatentia mea cand am scris enuntul : a se citi "rational" in loc de irational. cu aceasta "erata" putem face vre-o demonstratie ? corectez deasemenea scrierea cu radical care nu este corecta astfel: ramane neschimbat pentru k din N si se rescrie sub forma de putere pentru k din Q . macar atat si apoi mai vedem ce se intampla cu o putere irationala

Problema este usoara pentru exponenti rationali. Pentru exponenti irationali, este foarte posibil sa intram pe taramuri ultradificile. Neuronii nostri sunt oarecum intrati in vacanta, insa ni se pare ca problema se reduce la urmatoarea

Conjectura. Daca numerele

sunt rationale, atunci in mod necesar

.

Evident, acest lucru este mai tare decat problema propusa de dv., insa amandoua par la fel de dificile.

In alta ordine de idei, mai multe mesaje din acest thread contin cateva inexactitati. Atentie!

Pentru a termina pe un ton pozitiv, propunem si noi urmatoarea

Problema. Sa se demonstreze ca exista doua numere irationale

si

astfel incat

sa fie rational.

[EDIT: enuntul conjecturii a fost corectat]

[Citat] Problema. Sa se demonstreze ca exista doua numere irationale si astfel incat sa fie rational.

o rezolvare poate fi urmatoarea : fie a=e si b=ip (p=pi), ambele numere fiind cat se poate de irationale (mai putin i-ul). Identitatea lui Euler ne spune ca e^ip = -1 care este un numar rational. Rezolvarea este simpla pornind de la formula lui Euler :
e^ix=(cosx+isinx) care pentru x=p devine e^ip=(cosp+isinp)=-1

Pentru numere irationale putem lua a=e si b=ln2 , ambele fiind de data asta irationale iar e^ln2 = 2

[Citat] Conjectura. Daca numerele sunt rationale, atunci in mod necesar .

cum vad ca tineti foarte mult la exactitate si penalizati orice "graba", specificati ne-apartenenta lui alfa la N si Z in enunt pentru ca propozitia sa fie conjectura. Apropo: este o conjectura cunoscuta sau ati declarat-o dumneavoastra ?
Asa cum este enuntata...formularea s-ar putea sa aiba anumite lacune : daca facem precizari asupra lui alfa de genul alfa apartine lui Q\Z sau R\Q atunci concluzia ca alfa=0 e un pic ciudata.
Pentru alfa din Q\Z avem alfa=m/n (ireductibila). Cum radacina de ordinul n dintr-un numar prim (2 si 3) este irationala atunci si la puterea intreaga m (care nu este multiplu de n) va fi tot un numar irational.(rationament care nu-l pot aplica in cazul lui n! care ptr n>2 nu mai este prim !)
Pentru alfa din R\Q putem face referire doar la numerele algebrice irationale si utilizand teorema lui Gelfond-Schnaider se obtine pentru 2^alfa si 3^alfa numere transcendente si deci irationale.
Pentru valorile transcendente ale lui alfa ... poveste deschisa; dintre acestea cred doar, ca putem sa excludem logaritmii insa nu am nici o demonstratie. Insa si fara logaritmi mai raman destule clase de nr transcendente pentru care trebuie demonstrat.

[Citat] Problema este usoara pentru exponenti rationali.

O sa ma mai gandesc la ea...a fost mai simplu sa o inventez decat sa o rezolv

[Citat] Pentru a termina pe un ton pozitiv

...in acelasi spirit: nu pot sa nu remarc amuzanta coincidenta (pastrand proportiile cel putin in cazul meu)...cu ceva anishori in urma "the real" Goldbach ii trimitea spre rezolvare lui "the real" Euclid forma initiala a cunoscutei conjecturi (bineinteles ca ramane de vazut cat de "conjectura" este enuntul meu cu factorialul...dar oricum imi revendic enuntul )

...si ca sa-mi clarific enuntul:

Sa se arate ca nu exista numere naturale n si numere k din Q\Z astfel incat numarul n!^k sa fie rational.

Observatie : n!^(log_n!(q)) poate fi rational !