Am un determinant de ordinul 4,al unei matrici ce are prima linie (a b c d ), a doua (b a d c), a treia (c d a b) iar a patra (1 1 1 1). Stiind ca suma a+b+c+d=12, care este numarul de cvadruplete ordonate (a, b, c, d) de numere naturale ce satisfac aceste conditii. Ma puteti ajuta, va rog frumos ?
Cu proprietatile, sa imi iasa linii identice, sau cu proprietati, parca dureaza f mult...

[Citat] Am un determinant de ordinul 4,al unei matrici ce are prima linie (a b c d ), a doua (b a d c), a treia (c d a b) iar a patra (1 1 1 1). Stiind ca suma a+b+c+d=12, care este numarul de cvadruplete ordonate (a, b, c, d) de numere naturale ce satisfac aceste conditii. Ma puteti ajuta, va rog frumos ? Cu proprietatile, sa imi iasa linii identice, sau cu proprietati, parca dureaza f mult...

Deci matricea n-are nimic de-a face cu problema, nu?
Trebuie determinat numărul de cvadruplete ordonate (a,b,c,d) de numere naturale pentru care a+b+c+d=12.
Răspunsul este

O listă a celor 455 de cvadruplete ordonate: aici
https://sagecell.sagemath.org/?q=rqgmke

am uitat, determinantul trebuie sa fie 0.

[Citat] am uitat, determinantul trebuie sa fie 0.

Răspunsul este 127, dar problema e nebanală. Care este sursa?

Este o problema din culegerea pentru admitere la Politehnica Timisoara 2024...

Mda, în primul rând, nu e ușor de calculat determinantul.
Valoarea lui este

Astfel, ca să fie 0, trebuie ca suma a două dintre cele 4 numere să fie egală cu suma celorlalte două.
Nici asta nu e simplu. Trebuie să găsim numărul de cuadruplete

pentru care

și suma a două dintre ele este egală cu 6.
Aici se folosește principiul includerii și excluderii. Ca o indicație, avem

Revin când am timp.

Am inteles ! Multumesc frumos !