Sa se arate ca numarul

pentru

, este irational.

Am presupus ca

este rational.

Deoarece n(n+1) par, deducem ca 5n(n+1)+1 are ultima cifra 1, deci impar.
Daca k=2u+1 atunci 5n(n+1)=4u(u+1).Acum ar trebui sa ajung la o contradictie dar pe care nu o observ.

Calculand in GeoGebra termenii de forma 5n(n+1)+1, am observat ca sunt de forma:
11=1+10
31=1+10+20
61=1+10+20+30
101=1+10+20+30+40
151=1+10+20+30+40+50
..................
Ar trebui justificat de ce astfel de sume nu sunt patrate perfecte.

Pentru n=8, numarul dat este rational. In concluzie nu este rational pentru orice numar natural mai mare sau egal cu 1.(Enunt gasit pe brainly.ro)

Și pentru n=152, n=2736, n=49104...
De altfel, ecuația se poate transforma în una de tip Pell negativ https://bit.ly/3zaXFK6.

Soluția generală
https://bit.ly/3VZDKaA

Va multumesc!