Fie functia

. Are aceasta functie proprietatea lui Darboux? Care este imaginea functiei pe domeniul ei maxim de definitie? Este ea surjectiva?
Stim despre aceasta functie ca este continua pe domeniul ei de definitie, este injectiva (cu definitia) dar nu este strict monotona deoarece domeniul nu este interval. Nu stiu insa sa arat surjectivitatea.
Dar functia

, are aceasta proprietatea lui Darboux?

[Citat] Fie functia . Are aceasta functie proprietatea lui Darboux?

Desigur, doar e continuă.

[Citat] Care este imaginea functiei pe domeniul ei maxim de definitie?

[Citat] Este ea surjectiva?

Evident, nu.

[Citat] Dar functia , are aceasta proprietatea lui Darboux?

Nu. Care e imaginea intervalului

Imaginea cred ca este [1, +infinit) reunit cu elementul {0}. Deci Imaginea nu este interval, rezulta ca functia nu are proprietatea lui Darboux.

O modalitate de a aborda Imaginea primei functii, in afara de reprezentarea grafica?
Cat despre surjectivitate, cateva indicatii, daca se poate?
Edit:Functia nu este surjectiva deoarece Imaginea functiei nu coincide cu codomeniul.
Cat despre imaginea functiei: Pe intervalul (-infinit, 0) functia este strict descrescatoare si putem lua limitele la capetele intervalului. Deci
Imf =(-infinit, 0) pe acest interval. Analog pentru (0, +infinit) ,
Imf=(0,+infinit). Reunind solutiile obtinem

.
Este corect rationamentul?