Se consideră triunghiul ascuțiunghic ABC cu AB < AC, O centrul cercului circumscris, H ortocentru său și înălțimile AE, BF și CG (E € BC, F€ AC, G € AB). Fie I mijlocul lui AH și J mijlocul lui BC. Presupunem că IE = FJ. Să se arate că:
a) CH = AB
b) unghiurile ACG și OCB sunt congruente.

[Citat] Se consideră triunghiul ascuțiunghic ABC cu AB < AC, O centrul cercului circumscris, H ortocentru său și înălțimile AE, BF și CG (E € BC, F€ AC, G € AB). Fie I mijlocul lui AH și J mijlocul lui BC. Presupunem că IE = FJ. Să se arate că: a) CH = AB b) unghiurile ACG și OCB sunt congruente.

Trebuie să revedeți enunțul. La a) concluzia este CH=AB sau BH=AC.
Oricum, obiectivul este demonstrarea faptului că unul dintre unghiurile B sau C este de 45 de grade. Asta se poate face trigonometric destul de ușor.

Care e sursa problemei?

[Citat] [Citat] Se consideră triunghiul ascuțiunghic ABC cu AB < AC, O centrul cercului circumscris, H ortocentru său și înălțimile AE, BF și CG (E € BC, F€ AC, G € AB). Fie I mijlocul lui AH și J mijlocul lui BC. Presupunem că IE = FJ. Să se arate că: a) CH = AB b) unghiurile ACG și OCB sunt congruente. Trebuie să revedeți enunțul. La a) concluzia este CH=AB sau BH=AC. Oricum, obiectivul este demonstrarea faptului că unul dintre unghiurile B sau C este de 45 de grade. Asta se poate face trigonometric destul de ușor. Care e sursa problemei?

Olimpiadă clasa a 7-a etapa a 2-a. (https://ssmr.ro/files/onm2021/etapa_2/cl_7_enunturi.pdf).
Problema este de tip grilă și răspunsurile corecte sunt cele scrise.
La data când s-a susținut testul, programa la geometrie pentru olimpiadă nu includea funcțiile trigonometrice.

E greșeala mea. E posibil ca BH=AC, dar atunci unghiul A este obtuz. Nu am mai verificat.

[Citat] E greșeala mea. E posibil ca BH=AC, dar atunci unghiul A este obtuz. Nu am mai verificat.

În enunț se precizează că triunghiul ABC este ascuțitunghic.

Se știe că simetricul lui H față de BC se află pe cercul circumscris. De aceea, avem

Mulțumesc.