Fie

si matricea

Cerinta:

Aratati ca daca

sunt numere intregi si

, atunci

nu are toate elementele intregi.

Ce am facut pana acum:
-Nu cred ca ajuta, insa am calculat det(A)=(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)
-Am observat ca

Daca A si inversa ei, B sa zicem, traiesc peste inelul numerelor intregi, atunci det(A) si det(B) sunt +1 sau -1. In particular,

(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)

este un numar impar. Deci toti factorii sunt impari.
Acest lucru este mai greu, deoarece (a-b) + (b-c) + (c-a) = 0, contradictie.
(Suma a trei numere impare nu este para.)

Solutie alternativa:
(In principiu aceeasi solutie, dar prezentata mai structural si cu imediata posibilitate de generalizare fara nici un calcul.)
Presupunem prin absurd ca A, B ca mai sus au intrari in ZZ.
Atunci matricea A, considerata modulo doi, este de asemenea inversabila.
Dar modulo doi avem a = a³, b = b³, c = c³ si evident A modulo doi are determinant nul.