Fie r din intervalul (0,1) si mulțimea A={[n/r], n natural nenul}. Arătați ca r este densitatea mulțimii A.

Cum este definita densitatea multimii A?
Cumva drept
limita dupa N care tinde la infinit din
( numarul de puncte din A din intervalul [0,N] ) supra N ?

Daca da, problema se rezolva cu o incadrare liniara a numarului de puncte pana la N intr-un cleste simplu...

Da, așa este definita densitatea mulțimii A. Trebuie folosita inegalitatea părții întregi pentru a folosi apoi teorema cleștelui,dar nu am reușit sa ajung efectiv la acest lucru.

Sa luam de exemplu un caz simplu, r = 1/3, numar rational.
Atunci multimea A este multimea cu elementele

[1/(1/3)], [2/(1/3)], [3/(1/3)], [4/(1/3)], [5/(1/3)], [6/(1/3)], [7/(1/3)], [8/(1/3)], [9/(1/3)], [10/(1/3)], [11/(1/3)], ...

deci cu elementele

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ...

si este clar ca aceasta multime are densitatea 1/3.

Urmatorul exemplu pe care trebuie sa il consideram este r=2/3.
Si de data asta dam de un sir usor de calculat,

1 = [3/2], 3 = [6/2],
4 = [9/2], 6 = [12/2], ...

si cred ca se "vede" cu ochiul liber densitatea r=2/3, idea importanta fiind sa ne uitam la subsirul "cofinal" din definitia limitei dupa
N = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,...
subsirul continand doar valorile
N =3,6,9,...
care sunt divizibile cu numitorul 3 al lui r.

Cu aceeasi idee se transeaza cazul unui r rational, r=p/q fractie ireductibila, 0<p<q . Ajunge sa vedem cum stau lucrurile cu [n/r] pentru n de la 1 la p, dupa aceea avem "periodicitate modulo p".

Mai sunt probleme cu cazul unui r *rational* ?

Cazul general.
Fir r in (0,1).
Observam ca elementele [n/r], n numar natural, sunt diferite. Deoarece din
[n/r] = [m/r] si n < m (si fie K valoarea comuna a celor doua parti intregi) rezulta

K <= n/r < m/r < K+1, deci
Kr <= n < m < K+r

si iata ca avem doua numere naturale diferite intr-un interval de lungime r<1. Contradictie. Sirul valorilor [n/r] formeaza astfel un sir strict crescator.
Densitatea acestui sir ni se cere.

Sa notam acum cu a(r) sirul cu termenii ( [n/r] : n numar natural nenul ) .

Sa ne dam doua valori r si r' cu 0 < r < r' < 1.
Sa fixam un N.

Ce se poate spune despre numarul termenilor celor doua siruri

a(r) si
a(r')

care sunt in intervalul de la 0 la N?

Cum putem incheia demonstratia?

Nu înțeleg de ce am schimba r, r este fixat. Cum ar putea conduce aceste șiruri construite la folosirea cleștelui?

Pe raționale este mai ușor, acolo este clara situația.

[Citat] Nu înțeleg de ce am schimba r, r este fixat. Cum ar putea conduce aceste șiruri construite la folosirea cleștelui?

Sa vedem pe un exemplu concret.
Iau r = 1/radical(23) .
Este vorba deci cam de numarul:

0.208514414057075

Numarul de mai sus are urmatoarele aproximari bune folosind numere rationale:

sage: r = 1/sqrt(23.)
sage: convergents( r )
[0,
1/4,
1/5,
4/19,
5/24,
44/211,
49/235,
191/916,

si asa mai departe. Sa luam de exemplu aproximarea s = 1/5 pe de o parte si aproximarea t = 4/19 pe cealalta parte.

Iau si o valoare speciala pentru N, anume N=100.

Care sunt numerele de forma [n/r] respectiv [n/s] respectiv [n/t] sub N=100?
Programam:

sage: s,r,t = 1/5, 1/sqrt(23), 4/19
sage: bool( s < r < t )
True
sage: def A(r,N): return [ floor( n/r ) for n in [1..N] if floor( n/r ) <= N ]
sage: str( A(s,100) )
'[5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100]'
sage: str( A(r,100) )
'[4, 9, 14, 19, 23, 28, 33, 38, 43, 47, 52, 57, 62, 67, 71, 76, 81, 86, 91, 95, 100]'
sage: str( A(t,100) )
'[4, 9, 14, 19, 23, 28, 33, 38, 42, 47, 52, 57, 61, 66, 71, 76, 80, 85, 90, 95, 99]'

Si acum ne uitam la cele trei siruri si comparam termenii de pe pozitiile corespunzatoare.

4 = 4 < 5
9 = 9 < 10
14 = 14 < 15
si asa mai departe
42 < 43 < 45
47 = 47 < 50
52 = 52 < 55
57 = 57 < 60
61 < 62 < 65
66 < 67 < 70
71 = 71 < 75
76 = 76 < 80
80 < 81 < 85
85 < 86 < 90
90 < 91 < 95
95 = 95 < ?

Si noi ne-am oprit la 100.
Ce s-ar fi intamplat daca ne-am fi oprit la (inclusiv) 61? Dar la 80? Dar la...?

Sper ca este clar de ce libertatea de a ne alege r-ul este utila. Pur si simplu putem spune ca din

0 < s < r < t < 1

rezulta pentru densitatea multimilor corespunzatoare A(s), A(r), A(t) relatia

densitatea A(s) < densitatea A(r) < densitatea A(t) .

Nu inteleg de ce nu am schimba r-ul...

Da, merge schimbat daca procedam așa. Nu înțelegeam contextul cum anume să-l schimbam. E corect, dar cum ajungem totuși la rezultat?

Exact lucrul acesta l-am intrebat si eu, am crezut ca indicatia ajunge.

Demonstratia poate fi data in doua etape:
Pentru numere rationale avem un caz usor de rezolvat.
Demonstram ca pentru s < r < t densitatile satisfac inegalitatea dubla corespunzatoare.
Fixam apoi un r si ne dam doua siruri de numere rationale unul creste spre r, celalalt scade spre r.

Demonstratia directa:

Ambele demonstratii au virtutea lor.

Multumesc frumos! Este clar acum.