Fie funcția f:R --> R, f(x) = e^ (ax), a diferit de 0. Notăm cu m numărul valorilor x€R ce verifică
f(x) = x, iar cu n numărul valorilor x€R ce verifică (f compus f) (x) = x.
a) Să se afle mulțimea valorilor lui m pentru care n = 1.
b) Să se afle mulțimea valorilor lui a pentru care m + n = 3.
c) Să se afle mulțimea valorilor lui a pentru care m = 1.
d) Să se afle mulțimea valorilor lui a pentru care n = 0.
e) Să se afle mulțimea valorilor lui a pentru care n=2.
f) Să se afle mulțimea valorilor lui a pentru care graficele funcțiilor f și (f compus f) sunt tangente.

Răspunsuri:
a) {1}
b) mulțimea vidă
c) (- infinit, 0) U {1/e}
d) (1/e, infinit)
e) (0, 1/e)
f) {1/e}
(Concurs UTCN 2017)

[Citat] Fie funcția f:R --> R, f(x) = e^ (ax), a diferit de 0. Notăm cu m numărul valorilor x€R ce verifică f(x) = x, iar cu n numărul valorilor x€R ce verifică (f compus f) (x) = x. (a) Să se afle mulțimea valorilor lui m pentru care n = 1. (b) Să se afle mulțimea valorilor lui a pentru care m + n = 3. (c) Să se afle mulțimea valorilor lui a pentru care m = 1. (d) Să se afle mulțimea valorilor lui a pentru care n = 0. (e) Să se afle mulțimea valorilor lui a pentru care n=2. (f) Să se afle mulțimea valorilor lui a pentru care graficele funcțiilor f și (f compus f) sunt tangente. Răspunsuri: (a) {1} (b) mulțimea vidă (c) (- infinit, 0) U {1/e} (d) (1/e, infinit) (e) (0, 1/e) (f) {1/e} (Concurs UTCN 2017)

Doar câteva ganduri scrise la repezeala ca sa demaram.
Sa incercam apoi impreuna.

In primul rand observam ca din f(x) = x rezulta f(f(x)) = x.
Deci n este mai mare sau egal cu n.

La (a) nu inteleg prea bine ce inseamna "...multimea valorilor lui m...", problema ar trebui cumva sa faca mai clara dependenta comuna a lui m si n de a.

In fine, daca n este 1, m are doar sansele de a fi 0 sau 1.

Pentru a negativ, functia f(x) este strict descrescatoare si x este strict crescatoare, deci siferenta f(x)-x este strict monotona, tinde la +oo pentru x spre -oo, la -oo pentru x spre +oo, deci are exact o anulare pe IR.
Sa observam ca functia f este convexa, derivata a doua a ei (dupa x) este f" > 0 . Deci graficul lui f intersecteaza o dreapta, de exemplu prima bisectoare, in0, 1 sau 2 puncte.

Consideram mai departe cazul a negativ.
Functia f este strict descrescatoare, deci functia de x data de f(f(x)) este strict crescatoare. Deoarece f(x) ia valori in ( 0, +oo ), f(f(x)) ia valori in (0,1). Deci fof este o functie srict crescatoare, "pleaca la 0 in -oo si ajunge spre 1 LA +oo". Un punct fix, f(f(x)) = x, apare in orice caz (de ce?), sa vedem daca sunt mai multe. Derivata secunda a lui f(f(x)) pe intervalul (0,1) este >0 . Functia este deci convexa. Ecuatia f(f(x)) = x are deci 0, 1, 2 solutii. O solutie o avem deja, este cea a ecuatiei f(x) = x.

Mai putem avea o solutie?

Scrieti va rog ce ati facut / ce ati incercai in cazul a > 0.
(Multe lucruri merg la fel mai departe.)

Care puncte sunt astfel clarificate?
La care mai avem de lucru?

Așa este enunțul la a).

[Citat] Așa este enunțul la a).

Daca asa este, care este sensul lui (a) atunci?

(Eu in general ma declar nemultumit cu enuntul unei probleme, daca acesta are mici sau mari neclaritati. La noi, dat fiind un a, putem sa ii asociem un m = m(a) si un n = n(a). Dar unui "n=1" nu putem sa ii asociem "un m"...)

Ca sa intelegeti unde e problema, incercati sa scrieti ce intelegeti din enuntul (a).

De asemenea, este indicat sa faceti cativa pasi in directia solutiei, pentru a ne arata ca intelegeti cadrul problemei, dificultatea sau simplitatea ei si faptul ca noi nu tiparim degeaba.

In momentul in care veti folosi latex, voi folosi si eu.
(Nivelul problemei este mult peste nivelul necesar folosirii latex-ului in cazul de fata.)

Raspunsurile laconice nu ne prea ajuta sa ajungem departe.

Din analiza graficelor lui f și (f compus f) ar rezulta că cele 2 ecuații au aceleași soluții pentru orice a nenul.