Sa se calculeze aria figurii marginite de graficul functiei f definite pe R cu valori in R, f(x)=-(1/2)*(x^2)+3, si de doua tangente la acest grafic, care trec printr-un punct al axei ordonatelor si care sunt perpendiculare.

[Citat] Sa se calculeze aria figurii marginite de graficul functiei f definite pe R cu valori in R, f(x)=-(1/2)*(x^2)+3, si de doua tangente la acest grafic, care trec printr-un punct al axei ordonatelor si care sunt perpendiculare.

Graficul functiei este o parabola ce are axa Oy ca axa de simetrie. Fie A(0,a) punctul din care se duc cele doua tangente la parabola. Ele fiind perpendiculare au pantele m, respectiv -1/m. Ecuatiile lor sunt : (1) y-a=m*x si (2) y-a=(-1/m)*x. Sistemul format de tangenta 1) si ecuatia parabolei : (3) y=(-1/2)*x^2 +3 trebuie sa aiba solutie unica, de unde rezulta conditia:
(4) m^2-2*a+6=0, iar pentru ca sistemul format de tangenta (2) si ecuatia (3) sa aiba solutie unica, rezulta conditia: (5) 1-2*a*m^2+6*m^2=0. Din (4) si (5) obtinem a= 7/2 si m=1 sau -1.
Punctele de tangenta sunt in acest caz: B(-1;5/2) si C(1;5/2).Din motive de simetrie, aria ceruta este de doua ori integrala de la -1 la 0 din(x+7/2+(x^2)/2-3) adica 1/3.