Hi:* Am si eu 2 probleme : (sper sa intzelegetzi)

1) Studiati derivabilitatea functiei <>:[o,+infinit) -> R ,< x > = min(x-[x],[x]-x), unde [x]=min{n APARTINE Z | n>= x} (<x> reprezinta diferenta dintre x si cel mai apropiat intreg,<> este functia "dinti de fierastrau" in punctele xk=k/2,k APARTINE N)

2) (Regula "clestelui" Fie f,g,h:E-> R, x0 APARTINE E INTERSECTAT E' astfel incat g(x)<=f(x)<=h(x), oricare ar fii x APARTINE V APARTINE Multimea vecinatatilor(xo) si g(x0)=f(x0)=h(x0). Daca g si h sunt derivabile in x0,atunci si f este derivabila in x0 si f'(x0)=g'(x0)=h'(x0)

[Citat] Hi:* Am si eu 2 probleme : (sper sa intzelegetzi)

Sper ca am inteles ce vroiau enunturile! Am vrut initial sa le includ in "Probleme" din meniul din stanga, dar enunturile au puncte slabe, asa ca iata aici comentarii si indicatii.

[Citat] 1) Studiati derivabilitatea functiei <>:[o,+infinit) -> R ,< x > = min(x-[x],[x]-x), unde [x]=min{n APARTINE Z | n>= x} (<x> reprezinta diferenta dintre x si cel mai apropiat intreg,<> este functia "dinti de fierastrau" in punctele xk=k/2,k APARTINE N)

1. Un prim lucru care nu ne place este schimbarea notatiilor cunoscute. In Romania este unanim acceptata notatia [x] pentru partea intreaga a lui x. In cele ce urmeaza voi folosi [x] pentru partea intreaga a lui x ca sa eliminam confuziile. Atunci min{n APARTINE Z | n>= x}=-[-x].

2. Apoi, se defineste o functie si apoi intelegem ca in paranteza se da o explicatie a definitiei. Or cele doua sunt diferite.

Deci hai mai intai sa convenim asupra functiei despre care vorbim. Daca este vorba despre functia ce asociaza oricarui x real diferenta pana la cel mai apropiat intreg atunci ar trebui sa fie functia periodica de perioada 1, definita prin

. Aceasta functie este derivabila peste tot mai putin multimea

.

[Citat] 2) (Regula "clestelui" Fie f,g,h:E-> R, x0 APARTINE E INTERSECTAT E' astfel incat g(x)<=f(x)<=h(x), oricare ar fii x APARTINE V APARTINE Multimea vecinatatilor(xo) si g(x0)=f(x0)=h(x0). Daca g si h sunt derivabile in x0,atunci si f este derivabila in x0 si f'(x0)=g'(x0)=h'(x0)

Enuntul este scris intr-un mod prea pretentios pentru ceea ce spune.

Despre ce topologie vorbim aici? Nu este cea obisnuita a numerelor reale?

Daca DA, atunci din

pentru orice x dintr-o vecinatate a lui

, rezulta ca functiile sunt definite pe un interval in jurul lui

. Deci toata povestea de la inceput cu E si E' (notam astfel punctele de acumulare ale lui E, nu?) este fara nici un rost, caci este suficient sa ne restrangem la acel interval. Putem sti de unde ati luat problema?

Daca am intuit bine ce vrea enuntul, atunci demonstratia este ceva de genul urmator.

Pentru orice

avem

. Pentru

, impartind cu

inegalitatile precedente, obtinem

. Trecand la limita cu

, avem

. In mod similar se arata ca

si punand cap la cap aceste inegalitati se obtine concluzia dorita.

Am cam sarit niste etape in demonstratie: trebuie argumentat ca derivata la stanga si dreapta a lui f exista. Ideile de mai sus se pot "corecta" usor intr-o demonstratie completa. Prefer insa sa vedem mai intai ca am inteles care era problema in discutie.