Pe un cerc se considera punctele A, B, C, Msi fie A1 B1 C1 ortocentrele triunghiurilor MAB, MBC, MAC.

a) Sa se arate ca triunghiurile ABC si A1B1C1 sunt congruente iar M este ortocentrul triunghiului A1 B1 C1 .
b) Sa se demonstreze ca dreptele AA1 , BB1 CC1 , GG1, HM si OO1 sunt concurente , unde G, H, O respectiv G1 M,o1 sunt respectiv centrele de greutate , ortocentrele si centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC si A1B1C1

[Citat] Pe un cerc se considera punctele A, B, C, Msi fie A1 B1 C1 ortocentrele triunghiurilor MAB, MBC, MAC. a) Sa se arate ca triunghiurile ABC si A1B1C1 sunt congruente iar M este ortocentrul triunghiului A1 B1 C1 . b) Sa se demonstreze ca dreptele AA1 , BB1 CC1 , GG1, HM si OO1 sunt concurente , unde G, H, O respectiv G1 M,o1 sunt respectiv centrele de greutate , ortocentrele si centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC si A1B1C1

Simplificam enorm problema lucrand cu numere complexe. Vom presupuna ca punctele

zac pe cercul unitate si au afixele

, evident toate de modul egal cu unu.

Deoarece intr-un triunghi arbitrar centrul de greutate imparte in raportul 2:1 segmentul ce leaga ortocentrul de centrul cercului circumscris, ortocentrul este punctul de afix

In mod analog, afixele punctelor

sunt

Fie

punctul de afix

, cu alte cuvinte, mijlocul segmentului MH !!! Atunci triunghiul

este simetricul triunghiului

fata de acest punct deci evident sunt congruente. Motivul:

Simetria se pastreaza la orice constructie imaginabila. In particular si la ortocentre. Dar H este la unul din capetele segmentului MH, al carui mijloc este centrul de simetrie

, deci ortocentrul triunghiului

zace la celalalt capat, adica in punctul M !!!

Simetria fata de punctul

este motivul pentru care toate acele drepte sunt concurente (in centrul de simetrie, evident)