A?i comis o gre?eal? tipic?, precum urm?toarea:

si unde e greseala?

P?i, de fapt,

, pentru orice

, deci

Mda, grea analiza asta...
Pai cand calculam derivata unei functii intr-un punct nu "derivam" valoarea functiei in acel punct, ca sa ne dea derivata unei constante=zero.
Cineva cu spirit de observatie isi da imediat seama ca e ceva putred, pai asa, luam orice functie f, si ca sa calcum f'(a) il derivam pe f(a), care fiind constanta, ne da zero, deci derivata oricarei functii in orice punct ar fi zero, aiurea.

De fapt, derivata unei functii intr-un punct f'(a) este o LIMITA cu x tinde la a din raportul [f(x)-f(a)]/(x-a), iar intotdeauna limita unei functii intr-un punct depinde de valorile functiei intr-o vecinatate a punctului respectiv (oricat de mica dorim), si nu doar de valoarea functiei in punct. (

Deci cand imi pun problema sa calculez derivata unei functii intr-un punct, trebuie sa stiu(sa cercetez) formula functiei intr-o vecinatate a punctului, nu doar valoarea functiei in punct!! Doar daca atat in punctul a cat si intr-o vecinatate a lui a(si-n stanga si-n dreapta), avem ACEEASI formula de functie , putem deriva dupa regulile obisnuite de derivare, cum de altfel s-a facut mai sus, pentru toti x>0, respectiv toti x<0.

Acest lucru nu se intampla la noi in punctul zero(intr-o vecinatate a lui zero, avem o formula in stanga lui 0, o alta formula in dreapta lui zero, ba pe deasupra valoarea in zero e si ea data separat). Dar se intampla in toate punctele diferite de zero.
Deci, in zero, trebuie sa studiem derivatele laterale, obtinute ori cu definitia derivatei(greoi), ori ca limite laterale ale derivatei deja calculata in afara de punctul zero.(consecinta Lagrange dupa ce ne asiguram sau punem conditia de continuitate in punctul zero, cerinta esentiala a proprietatii pe care o aplicam!).


Tine minte asta: derivata intr-un punct nu e determinata doar de valoarea functiei in punct ci de fapt, de toate valoirle functiei dintr-o vecinattae a punctului respectiv. Dar asta e un lucru subtil pentru multi elevi( fara sa ma hazardez, peste 90% din elevi nu inteleg in profunzime notiunea de limita, analiza fiind pentru ei doar un amalgam de formule si tehnici de rezolvare pe care le aplica oarecum mecanic.)
Asta deoarece multi nu "simt" notiunea de limita, nu "simt" structura multimii numerelor reale , intuitia multora oprindu-se la numerele naturale. Nu e de mirare, ca pentru multi elevi de a-11-a chiar, x>0 e totuna cu x>=1, dar avem pretentia sa inteleaga notiunile abstracte ale analizei. Si chiar nu pot fi blamati, analiza nu e pentru oricine, in nici un caz pentru elevii care invata superficial, si nu insista pe intelegerea notiunilor fundamentale ci doar pe algoritmii de rezolvare.


Revenind: cat este, atunci, in exercitiul dat, f'(0)?


P.S.1 Observatie: De fapt, notunea generala de limita nu depinde absolut DELOC de valoarea functiei in punctul in care fac limita, ba functia poate nici sa nu fie definitia, totusi derivata e un caz particular de limita a unui raport ce contine si valoarea functiei in punct).
P.S.2 Exemplul dlui prof Enescu este foarte bun.

Ma bag poate tocmai ca gasca--n fapte,
dar cred ca este bine sa mentionez un lucru mai general ce poate ajuta intelegerea fenomenului sau avatarului...

Pe pagina
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Spline_(mathematics)
sunt prezentate functiile
Spline


Ei bine, o functie spline
f
este o functie definita pe un "interval inchis mare", impartit in mai multe intervale inchise mai mici, unul dupa altul, doua intervale "consecutive" avand doar extremitatea corespunzatoare comuna.

Pe fiecare din intervalele mai mici f este definita de o formula polinomiala.
Fiecare astfel de formula ne permite sa calculam imediat primele cateva derivate ale lui f pe intervalul cu formula respectiva.

Problema continuitatii lui f se pune numai la punctele de "lipire". Ea este asigurata, daca si numai daca in fiecare punct de lipire
formula polinomiala a lui f din "stanga" punctului de lipire si
formula polinomiala a lui f din "dreapta" punctului de lipire
evaluate in punctul de lipire coincid.

Sa zicem ca f este continua.
Problema derivabilitatii lui f se pune apoi numai in punctele de "lipire". Ea este asigurata, daca si numai daca in fiecare punct de lipire
formula polinomiala a lui f' din "stanga" punctului de lipire si
formula polinomiala a lui f' din "dreapta" punctului de lipire
evaluate in punctul de lipire coincid.

Si asa mai departe.

Este bine sa se inteleaga de exemplu spatiul vectorial al functiilor spline
pe [0,10]
cu punctele de lipire in 1,2,3,4,5,6,7,8,9
care sunt date pe fiecare din intervalele
[0,1], [1,2], ... [9,10] de cate un polinom de gradul III
si care sunt (in fiecare punct de lipire) de doua ori derivabile.

Cate grade de libertate avem? (Care este dimensiunea spatiului?)

Asa ceva se foloseste in grafica, in matematici financiare, in multele jocuri pe calculator, in simularea caroseriei unei masini si a expunerii ei la ploaie si vant (pe computer) deoarece este mult mai usor sa dam un spline 2-dimensional (lipiturile sunt de-a lungul unor bucati care sunt dreptunghiuri sau triunghiuri) care simuleaza caroseria si vibratiile / deformarile ei decat sa dam o sumedenie de puncte. In filmele 2D si 3D de desene animate de asemenea sunt pusi oameni in miscare, senzorii (ca cei din telefoanele mobile) de pe corpul oamenilor dau pozitia unor puncte principale de reper, oamenii se interpoleaza (pe suprafata lor) rapid in spline-uri, in timp real este chiar posibil sa se calculeze efecte de umbre pe suprafetele spline 3D (cubice lipite dublu derivabil sa zicem)... asta ca sa se inteleaga pentru ce se face matematica si fizica in scoala. (Stiu, din pacate nu se mai pot aprecia la adevarata valoare filmele de actiune in care actorii principali alearga mai repede decat un obuz pe ultimii 10 m si se salveaza din forta bratelor la o coliziune abrupta cu un zid de beton.)

Rog a se intelege functiile spline.