Buna seara!

O problema la algebra cere asa:
Sa se afle termenul general al sirului care verifica relatia:
x(0) = 2;
x(1) = 3;
x(n+1) = 3*x(n) - 2*x(n-1). Ma scuzati ca nu folosesc Latex,asa ca am pus intre paranteze rotunde indicii pentru a se intelge mai bine.

Cum ar trebui sa fac?
Formula gasita de mine ar trebui sa o demonstrez prin inductie??

[Citat] Buna seara! O problema la algebra cere asa: Sa se afle termenul general al sirului care verifica relatia: x(0) = 2; x(1) = 3; x(n+1) = 3*x(n) - 2*x(n-1). Ma scuzati ca nu folosesc Latex,asa ca am pus intre paranteze rotunde indicii pentru a se intelge mai bine. Cum ar trebui sa fac? Formula gasita de mine ar trebui sa o demonstrez prin inductie??

O varianta ar fi sa notezi y(n)=x(n)-x(n-1)
Din relatia din enunt rezulta ca x(n+1)-x(n)=2*(x(n)-x(n-1)) si deci
y(n+1)=2*y(n) pentru orice n natural nenul si y(1)=1 de unde rezulta ca
y(n)=2^(n-1)pentru orice n natural nenul
x(n)=x(0)+y(1)+y(2)+...+y(n)=
=2+2^0+2^1+...+2^(n-1)=1+2^n

O alta varianta ar fi sa lucrezi cu ecuatia caracteristica

[Citat] [Citat] Buna seara! O problema la algebra cere asa: Sa se afle termenul general al sirului care verifica relatia: x(0) = 2; x(1) = 3; x(n+1) = 3*x(n) - 2*x(n-1). Ma scuzati ca nu folosesc Latex,asa ca am pus intre paranteze rotunde indicii pentru a se intelge mai bine. Cum ar trebui sa fac? Formula gasita de mine ar trebui sa o demonstrez prin inductie?? O varianta ar fi sa notezi y(n)=x(n)-x(n-1) Din relatia din enunt rezulta ca x(n+1)-x(n)=2*(x(n)-x(n-1)) si deci y(n+1)=2*y(n) pentru orice n natural nenul si y(1)=1 de unde rezulta ca y(n)=2^(n-1)pentru orice n natural nenul x(n)=x(0)+y(1)+y(2)+...+y(n)= =2+2^0+2^1+...+2^(n-1)=1+2^n O alta varianta ar fi sa lucrezi cu ecuatia caracteristica

Va multumesc pentru ajutor,dar de ce este acolo y(n) = 2^(n-1) ? Nu am inteles de ce ati pus asa.

In problema initiala (si in multe asemanatoare) primul lucru ce trebuie facut este calculul primilor cativa termeni ai sirului recurent si incercarea de ghicire a formulei.

Sirurile cu recurenta liniara sunt bine cunoscute,
http://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation#Linear_homogeneous_recurrence_relations_with_constant_coefficients

As dori sa aflu de unde vine ecuatia caracteristica. Eventual daca puteti sa imi oferiti un site sau sa explicati daca se poate aici pe scurt. Dar daca depaseste nivelul clasei a XI-a, o sa mai astept putin. Multumesc.

[Citat] As dori sa aflu de unde vine ecuatia caracteristica. Eventual daca puteti sa imi oferiti un site sau sa explicati daca se poate aici pe scurt. Dar daca depaseste nivelul clasei a XI-a, o sa mai astept putin. Multumesc.

Nu depaseste sub nici un fel nivelul liceului.
(Intelegerea structurala poate depaseste, dar intelegerea este imediat posibila.)

Plecam de la idea ca o astfel de recurenta liniara de ordin II (sa zicem)
ce exprima
x(n+2)
liniar in functie de cei doi predecesori in sir,
x(n+1) si x(n)
admite solutii de forma:

x(n) = C u^n + ...

unde in locul acelor puncte-puncte mai vin termeni de aceeasi culoare.
Formula de mai sus incearca sa lase exact atatea grade de libertate cat este si gradul recursiunii, la noi doi. Vrem doua constante C si D.

In orice caz, solutia va fi o solutie generala si va merge pentru orice C si D.
(In sensul ca daca nu precizam x(0) si x(1), atunci avem solutia generala dependente de doua constante.)

Ei bine, ajunge sa verificam atunci ca asa este, deci daca luam (in particular)
C = 1 si restul constantelor 0 trebuie inca sa dam de o solutie a recurentei.
Acest lucru revine la

Expresie liniara de( u^(n+2) , u^(n+1) , u^n ) = 0

si simplificand cu u^n dam de o conditie buna pentru toti n.
Anume de ecuatia caracteristica (aici in u, nu in lambda. Dar lambda se ia de obicei in facultate cand e vorba de valori proprii, iar problema data are ceva de-a face cu vectori si valori proprii, poate mai spun ceva si despre legatura curand..).

Bun. Atunci e bine (da)ca avem n radacini (distincte) pentru o ecuatie polinomiala de grad n, (la noi 2 radacini pentru grad 2,) deoarece in functie de primele n (sau la noi doua radacini) relatii impuse putem rezolva un sistem van der Monde. (Scriere olandeza, cred...) La noi acest sistem este

x(0) = C + D
x(1) = Cu + Dv

dar daca avem gradul recursiunii mai mare (si radacinile polinomului caracteristic asociat distincte), atunci sigur dam de ceva de forma

x(0) = C + D + ... + Z
x(1) = Cu + Dv + ... + Z w
:
:
x(n-1) = Cu^(n-1) + Dv^(n-1) + ... + Z w^(n-1)

si pe clasa a XI-a avem incredere deja in existenta unei solutii unice...

Nota:
Ce facem acum daca o radacina (sau mai multe) e dubla (sau e multipla sau sunt multiple) ?

daca o radacina e dubla, putem sa ne gandim ca suntem la lucru cu cazul limita in care u tinde la v. Il privim pe v ca o constanta si ne asteptam sa dam oricum in formula generala de un x(n) = ... + D v^n .
Acel u pune in evidenta intr-o scriere de gasit a afacerii, pune in evidenta o derivata, deci ne asteptam sa dam de C n v^(n-1) . Asa si este. Preferam sa renormam si sa vedem de asemenea un v^n in sensul ca avem:
C n v^(n-1) = (alta constanta de gasit) n v^n .

Forumla generala se cauta atunci in general de forma:

x(n) = suma[
Polinom de ordin (multiplicitatea(v)-1) calculat in n
inmultit cu functia putere "v^n" calculata in n
unde v se plimba in multimea radacinilor (distincte) ale polinomului caracteristic.
]


Tema de casa:
Sa se rezolve recurenta:

x(n+3) -6 x(n+2) + 11 x(n+1) -6 x(n) = 0
cu conditiile initiale:
x(0) = 1
x(1) = 0
x(2) = 0 .

Odata rezolvata poate pot spune ceva si despre partea cu valorile proprii, plecand de la un exemplu sau altul legat de cele doua probleme rezolvate.

Multumesc pentru explicatii. In ciuda faptului ca este tarziu, o sa incerc sa redau ce am inteles. O sa iau ca exemplu o recursivitate de ordinul 2. Pornesc direct de la ideea ca x(n) = ap^n+bq^n. Apoi inlocuind in relatia de recurenta imi formez niste ecuatii in p si q, care au aceleasi solutii, dar pornesc de la ideea ca trebuie ca p si q sa fie diferite. Atunci o sa iau pentru p prima solutie si pentru q a doua solutie. Am inteles bine?

Da! Multumesc pentru efortul de digerare depus.

Doar mici nuante as dori sa adaug.

[Citat] ...O sa iau ca exemplu o recursivitate de ordinul 2. Pornesc direct de la ideea ca exista p,q diferite cu x(n) = ap^n+bq^n pentru orice a,b. Apoi inlocuind in relatia de recurenta, partile in p, respectiv q se anuleaza separat deci imi formez niste ecuatii in p si q, care se reduc la "aceeasi" ecuatie de gradul doi. (Ecuatia e de fapt citibila pe recurenta initiala.) Vedem repede daca radacinile p si q sunt diferite. Atunci o sa iau pentru p prima solutie si pentru q a doua solutie.

Mai sus, in postarea de ieri, am incercat sa clarific nu problema, ci modul de asociere al ecuatiei caracteristice. Este punctul oranj din milocul celor de mai sus. Asocierea "oarba" devine intelegere...

Multumesc. Si ca sa nu las "tema" nefacuta:
Ecuatia caracteristica este:

echivalenta cu

de unde avem ca

rezolvand sistemul obtinem

.