Sa se dem:
functia f are limita l in pct a apartine multimi A' daca si numai daca oricare ar fi sirul (an)inclus in A si an tinde catre a an nu este egal cu a at f(an)tinde catre l.As vrea sa mi demonstrati cele 2 implicatii.

[Citat] Sa se dem: functia f are limita l in pct a apartine multimi A' daca si numai daca oricare ar fi sirul (an)inclus in A si an tinde catre a an nu este egal cu a at f(an)tinde catre l.As vrea sa mi demonstrati cele 2 implicatii.

Banuim ca functia este definita pe

.

Fie

un sir arbitrar convergent la

. Fie

. Conform ipotezei exista o vecinatate

a punctului

astfel incat

Deoarece sirul luat este convergent, exista

astfel incat

Prin urmare

Am aratat ca

Presupunem contrariul. Atunci exista

astfel incat pentru orice vecinatate

a lui

avem

In particular, luand succesiv vecinatati de forma

gasim elementele

cu proprietatea ca

Acest fapt contrazice ipoteza!

[Citat] Sa se dem: functia f are limita l in pct a apartine multimi A' daca si numai daca oricare ar fi sirul (an)inclus in A si an tinde catre a an nu este egal cu a at f(an)tinde catre l.As vrea sa mi demonstrati cele 2 implicatii.

demonstram prima implicatie: