Se considera un trapez oarecare pe laturile careia se construiesc triunghiuri echilaterale cu laturile egale cu laturile corespunzatoare ale trapezului.
a).Ce relatie trebuie sa indeplineasca laturile trapezului astfel incat patrulaterul determinat de varfurile ("exterioare") ale triunghiurilor sa fie inscriptibil. Sa se determine raza cercului circumscris acestui patrulater functie de laturile trapezului.
b).Se duc trisectoarele unghiului opus bazei mici in triunghiului echilateral corespunzator bazei mici a trapezului care intersecteaza laturile opuse ale patrulaterului inscriptibil in 2 puncte. Sa se calculeze aria triunghiului format de aceste 2 puncte si centrul cercului circumscris patrulaterului.
c).Se construiesc doua drepte mobile in triunghiul de la b). corespunzatoare celor 2 puncte, acestea intersecteaza aceleasi laturi ale patrulaterului inscriptibil in alte doua puncte. Ce inclinatie trebuie sa aiba aceste 2 drepte (fata de baza triunghiului) astfel incat punctul lor de intersectie, cele 2 puncte(de intersectie cu laturile patrulaterului inscriptibil) si mijlocul bazei mici a trapezului sa formeze un paralelogram.

P.S. Am incalcat regula promisa, dar problema originala era "nashpa".

Se poate construi un unghi de 20 grade doar cu rigla si compasul?

Ma gandeam la problema si la o metoda practica de trisectiune a unui unghi oarecare. Sau nu are rost... Macar una aproximativa...

Teoretic impart planul in triunghiuri echilaterale. Construiesc un unghi oarecare cu varful in varful unui triunghi echilateral si cu o latura confundata cu o dreapta oarecare determinata de laturile unui sir de astfel de triunghiuri. Cealalta latura avand o pozitie oarecare in plan. Modificand marimea laturilor triunghiurilor pe latura fixa, exista un sir de puncte in plan(care reprezinta varfuri ale unor triunghiuri echilaterale, cele alaturate unui unghi de 60 de grade, fata de latura fixa). care se vor "aseza" pe cealalta dreapta, deci laturile unghiului oarecare sunt "fixate" si procedez la fel cu trisectoarele unghiului (acestea sunt simetrice in interiorul unghiului). Poate gresesc, ma mai gandesc...

Mai degraba, putin dezvoltata, poate ar fi o metoda de a arata imposibilitatea trisectiunii unui unghi oarecare. Doar pentru anumite unghiuri particulare putem construi trisectoarele.

Uitandu-ma la problema:

O metoda practica de constructie numai cu rigla si compasul al unui unghi de 20 grade (adica trisectoarele unui unghi de 60 grade), cu o aproximatie f buna ar fi (cu o eroare cat un varf de creion pentru "a" uzuale):
umplem acest unghi cu 16 triunghiuri echilaterale de latura "a" numerotate de la varful unghiului si pe randuri. La al treilea rand (adica la distanta 3a pe laturile unghiului) mai adaugam o distanta de e=0,0625*a(adica a 16-a parte din "a"), distanta care se poate obtine cu rigla si compasul usor; (exact ar fi distanta e=0,064177773...*a). La intersectia acestui segment cu laturile triunghiului cu numarul "13" se gasesc 2 puncte care apartin celor 2 trisectoare(aproximarilor lor).

Obs. Intr-un numar minim de pasi ar fi: construim pe laturile unghiului doua segmente de lungime 3a (de 3 ori "a"), unim cele 2 puncte (obtinem un triunghi echilateral de laturi 3a, impartim latura de sus (interior unghiului) a acestui triunghi in 3 si construim triunghiul echilateral de latura "a" (ar fi al 13-lea). La fiecare segment de lungime "3a" (de pe laturile unghiului) mai adaugam a 16-a parte din "a"(se poate obtine usor). Segmentul determinat de aceste 2 puncte intersecteaza triunghiul echilateral de latura "a" in 2 puncte care apartin trisectoarelor (aproximarilor lor).

Cu cat "e" este aproximat mai bine cu atat obtinem aproximari ale trisectoarelor mai bune.

Obs. Valorile exacte ale punctelor sunt situate intre a 16-a = 0,0625 si a 15-a=0,0(6) parte din "a" (1/16<e<1/15).

De fapt eroarea nu depinde de valoarea lui "a" (pentru ca tangenta unghiului trisectoarelor este constanta), ceea ce inseamna ca raporturile de asemanare se pastreaza, indiferent marimea lui "a".

[Citat] Se considera un trapez oarecare pe laturile careia se construiesc triunghiuri echilaterale cu laturile egale cu laturile corespunzatoare ale trapezului. a).Ce relatie trebuie sa indeplineasca laturile trapezului astfel incat patrulaterul determinat de varfurile ("exterioare") ale triunghiurilor sa fie inscriptibil. Sa se determine raza cercului circumscris acestui patrulater functie de laturile trapezului. b).Se duc trisectoarele unghiului opus bazei mici in triunghiului echilateral corespunzator bazei mici a trapezului care intersecteaza laturile opuse ale patrulaterului inscriptibil in 2 puncte. Sa se calculeze aria triunghiului format de aceste 2 puncte si centrul cercului circumscris patrulaterului. c).Se construiesc doua drepte mobile in triunghiul de la b). corespunzatoare celor 2 puncte, acestea intersecteaza aceleasi laturi ale patrulaterului inscriptibil in alte doua puncte. Ce inclinatie trebuie sa aiba aceste 2 drepte (fata de baza triunghiului) astfel incat punctul lor de intersectie, cele 2 puncte(de intersectie cu laturile patrulaterului inscriptibil) si mijlocul bazei mici a trapezului sa formeze un paralelogram. P.S. Am incalcat regula promisa, dar problema originala era "nashpa".

1. Nu cred ca vei gasi intr-un timp scurt rezolvarea! Incercand sa modelez problema cu diverse instrumente computerizate, n-am intuit o solutie viabila! Este posibil ca problema (vanare de vant) sa nu aiba o rezolvare imediata! Incerca!
2. Problema este o transpunere a problemei lui Napoleon: Daca pe laturile unui triunghi oarecare se construiesc, in exterior, triunghiuri echialterale, sa se arate ca centrele acestor triunghiuri sunt varfurile unui triunghi echilateral.
3. Constat o INVAZIE de variatiuni pe teme clasice, dar cu ... generalizari sau extinderi: vezi problema data, ecuatii de tip Fermat, dar transformate, probleme despre care putem spune cate ceva dar nu totul! Intrebarea pe care mi-o pun: nu cumva, prin asta, se incearca distragerea atentiei de la FUNDAMENTAL? Am mai spus-o si o repet: matematica are nebanuite cai, dar sunt foarte multe AUTOSTRAZI prin care putem ajunge acolo unde ni se cere sa ajungem. (!!!) Diversiunile sunt binevenite daca sunt formulate clar si au un temei. Provocarile, chiar neintemeiate isi pot gasi loc intr-un viitor FOLCLOR MATEMATIC; dar, inainte de a lansa o provocare (supozitie), ar fi bine sa incercam sa facem si cateva verificari de rutina!
4. Nu condamn ci ... constat. Succes in producerea de probleme! (Poate si la rezolvari! De ce? Constat ca unii doar produc probleme si, cand vezi ca productia e prea mare, te intrebi: oare producatorul s-a mai gandit la ceea ce-a propus? Il mai intereseaza? Poate ca nu are o importanta prea mare, dar..)
Numai bine,

Nu m-am inspirat din nimic cand am propus problema asta. Imposibilitatea trisectiunii unghiului este cunoscuta! Dar am obtinut din ea o metoda de aproximare a trisectoarelor unui unghi de 60 de grade, adica constructia aproximativa a unui unghi de 20 grade (poate si asta exista deja). Nu pot fi la curent cu tot ce exista sau nu.

Am comparat ariile celor 2 triunghiuri (cel determinat de trisectoare) si unul echilateral de latura "a", si am constatat ca au arii foarte apropiate. Si de aici ideea.

De fapt am pornit de la un trapez oarecare, iar conditia de inscriptibilitate ma conduce la triunghiuri echilaterale.

[Citat] Nu m-am inspirat din nimic cand am propus problema asta. Imposibilitatea trisectiunii unghiului este cunoscuta! Dar am obtinut din ea o metoda de aproximare a trisectoarelor unui unghi de 60 de grade, adica constructia aproximativa a unui unghi de 20 grade (poate si asta exista deja). Nu pot fi la curent cu tot ce exista sau nu. Am comparat ariile celor 2 triunghiuri (cel determinat de trisectoare) si unul echilateral de latura "a", si am constatat ca au arii foarte apropiate. Si de aici ideea. De fapt am pornit de la un trapez oarecare, iar conditia de inscriptibilitate ma conduce la triunghiuri echilaterale.

1. Descarca euclidian. exe de la http://www.winsite.com/bin/Info?1000000034750 (sper sa merga)
2. Realizeaza o figura dinamica a problemei tale; incerca sa realizezi ca, practic, trapezul poate fi de orice fel (cel mai bine ar fi sa fie ..... patrat!!!) si poate te dumiresti! Nu contest ca poate exista o relatie .. frumusica intre laturi, dar cred ca ai ceva de treaba si, dupa cum te vad, pedaland intre Fermat si Napoleon, algebra si geometrie cu alte diverse escale, nu cred ca vei avea rabdarea sa duci la capat ceva temeinic!
3.

[Citat] Nu pot fi la curent cu tot ce exista sau nu.

SUPERB!
Numai bine,

[Citat] De fapt am pornit de la un trapez oarecare, iar conditia de inscriptibilitate ma conduce la triunghiuri echilaterale.

Am vrut sa spun ca, din conditia de inscriptibilitate, obtin un trapez isoscel cu
baza mare "2a", baza mica "a" si laturi "a" (adica format din 3 triunghiuri echilaterale). Se obtine inscriptibilitate si in cazul in care trapezul degenereaza in patrat sau triunghi echilateral (am mers deocamdata pe ideea de trapez). In acest caz, global obtin o figura care se poate descompune in triunghiuri echilaterale de latura "a". Dupa aceea construiesc elementele pentru celelalte subpuncte (trisectoarele, triunghiul isoscel determinat de trisectoare, dreptele mobile).

Problema e simpla, nu cere multe, dar practic nu pot desena trisectoarele exact, doar aproximativ. Literal se pot scrie toate formulele, si valoric, dar intervin numere irationale care nu pot fi construite exact cu rigla si compas. Problema o rezolv teoretic, presupunand graficul gata facut.

P.S. Am reusit sa descarc Euclidian.exe, dar as avea nevoie de codul de inregistrare.

[Citat] P.S. Am reusit sa descarc Euclidian.exe, dar as avea nevoie de codul de inregistrare.

Scuze pentru ceilalti! Daca imi trimiti o adresa de e-mail viabila (xxx@yahoo.com) iti pot trimite un fisier *.zip sau *.rar cu varianta free (fara umbrelutze!) Eu am descarcat-o tot de pe net dar nu mai stiu de unde; cred ca tot de pe Winsite! Trimite-mi un mesaj personal cu adresa! Succes si inspiratie in ... propuneri!
Numai bine,

Exista programele freeware Geogebra www.geogebra.org si Kseg http://www.mit.edu/~ibaran/kseg.html.