Sa se gaseasca x,y,z numere naturale strict mai mari ca zero si prime intre ele care verifica ecuatia:

.

[Citat] [Citat] Sa se gaseasca x,y,z numere naturale strict mai mari ca zero si prime intre ele care verifica ecuatia: .

Prima idee ar fi sa ne uitam la paritatile celor 2 membri ai ecuatiei.
Inainte de asta, daca x,y,z sunt prime intre ele putem avea doar urmatoarele situatii: unul din cele trei par, restul impare(prime intre ele); sau toate cele 3 impare(prime intre ele).

Daca z=par, x si y impare, rezulta: par=impar (nu convine)
Daca z=impar, x=par, y=impar, rezulta: impar=par (nu convine)
Daca z=impar, x=impar, y=par, rezulta: impar=par (nu convine)
Daca z,x,y=impare, rezulta impar=impar (convine)

Deci:
z=2m+1, m-natural, m>=0
x=2n+1, n-natural, n>=0
y=2p+1, p-natural, p>=0.
z,x,y - sunt prime intre ele, adica m,n,p-sunt dependente.
Este evident ca m>n, m>p. Putem avea n>p sau p>n.

Luam cazul n<p<m
Aici nu prea stiu cum sa exprim matematic ceea ce voi scrie (adica dependenta intre m,n si p (pe caz general).
___
Daca n=0 (x=1) atunci p poate fi orice natural>=1, iar m trebuie sa fie astfel incat 2m+1 diferit de (2p+1)*(2k+1). (k-natural).
Pentru n>=1 avem:
p trebuie sa fie astfel incat 2p+1 diferit de (2n+1)*(2t+1) (t-natural), iar m astfel incat 2m+1 diferit de (2n+1)*(2u+1) si 2m+1 diferit de (2p+1)*(2v+1) (u,v-naturale).
___
Pentru cazul p<n<m se procedeaza la fel.

Nu inteleg care sunt numerele x,y si z!
Eu am gasit urmatoarea solutie:z=5,y=4,x=3. Mai sunt si alte solutii?

Mai sus am facut doar o incercare de rezolvare. Si am si gresit.
E buna si situatia z=impar, x=impar, y=par.

Legat de solutie, nu ai obtinut-o prin demonstratie. S-ar putea sa fie unica. Sau poate nu...

[Citat] Nu inteleg care sunt numerele x,y si z! Eu am gasit urmatoarea solutie:z=5,y=4,x=3. Mai sunt si alte solutii?

Poate n-ar strica sa scrieti dupa enunt un mic comentariu pe marginea problemei, unde sa mentionati ca incercati sa creati o problema si ce anume stiti pe moment despre ea, sau faptul ca problema ati gasit-o intr-o culegere, revista, etc.

Astfel cei care incearca sa rezolve problema vor sti cum sa o apuce.

In alta ordine de idei, pentru aceasta problema ar fi bine sa precizati ca va referiti la cifre, sau daca intr-adevar x,y,z pot fi si numere de mai multe cifre atunci ar trebui precizat ca

este concatenarea numerelor x si y. Nu de alta, dar in mod standard notatia

cam presupune ca avem de a face cu cifrele x si y.

[Citat] Mai sus am facut doar o incercare de rezolvare. Si am si gresit. E buna si situatia z=impar, x=impar, y=par. Legat de solutie, nu ai obtinut-o prin demonstratie. S-ar putea sa fie unica. Sau poate nu...

Aceasta problema am gandit-o eu observand relatia dintre numerele pitagoreice 3,4 si 5.Nu am o demonstratie si astept sa o gaseasca careva.

[Citat] [Citat] Nu inteleg care sunt numerele x,y si z! Eu am gasit urmatoarea solutie:z=5,y=4,x=3. Mai sunt si alte solutii? Poate n-ar strica sa scrieti dupa enunt un mic comentariu pe marginea problemei, unde sa mentionati ca incercati sa creati o problema si ce anume stiti pe moment despre ea, sau faptul ca problema ati gasit-o intr-o culegere, revista, etc. Astfel cei care incearca sa rezolve problema vor sti cum sa o apuce. In alta ordine de idei, pentru aceasta problema ar fi bine sa precizati ca va referiti la cifre, sau daca intr-adevar x,y,z pot fi si numere de mai multe cifre atunci ar trebui precizat ca este concatenarea numerelor x si y. Nu de alta, dar in mod standard notatia cam presupune ca avem de a face cu cifrele x si y.

Stimate Domnule "Pitagora",eu am compus aceasta problema dupa ce am observat relatia care exista intre numerele pitagoreice 3,4 si 5;nu stiu daca este in vreo revista.
Deasemenea eu cred ca odata ce am specificat ca x,y si z sunt numere inseamna ca x poate fi o cifra si y un numar,sau invers,sau amandoua sunt cifre sau amandoua sunt numere si conform unui rationament matematic logic ar trebui rezolvata aceasta ecuatie propusa de mine.
Notatia

este o notatie consacrata in matematica si presupune implicit ca este vorba de un numar format si prin alipirea numerelor x si y si aceste numere pot avea una sau mai multe cifre.A specifica in problema ceea ce Dvs. doriti este echivalent cu a scrie sau a spune:"Zaharul este dulce." sau "Sarea este sarata.",etc...

[Citat] Sa se gaseasca x,y,z numere naturale strict mai mari ca zero si prime intre ele care verifica ecuatia: .

Problema cred ca este echivalenta cu urmatoarele (am presupus pe n referinta):
Sa se determine n natural nenul si k,t intregi astfel incat:

a)

unde se va nota cu b-numarul de cifre ale lui n
si
b)

unde se va nota cu b-numarul de cifre ale lui n+k

a)

Facand calculele rezulta ecuatia de gradul 3 in n:

Rezulta sistemul(din relatiile lui Viete):

b)

Facand calculele rezulta ecuatia de gradul 3 in n:

Rezulta sistemul(din relatiile lui Viete):

Sisteme care mai trebuie rezolvate :P ...