Sa se calculeze sup xyz atunci cand x+y+z=1 si x>=0, y>=0, z>=0

[Citat] Sa se calculeze sup xyz atunci cand x+y+z=1 si x>=0, y>=0, z>=0

Problema consta in determinarea maximului functiei de trei variabile f:[0,infinit]^3 --> R, f(x,y,z)=xyz, cu legatura x+y+z=1
Se rezolva cu metoda multiplicatorilor lui Lagrange pentru determinarea punctelor de extrem conditionat aplicata lui f.

Se obtine P(1/3,1/3,1/3) punct stationar. Dupa verificare rezulta ca acesta este punct de maxim al functiei. Rezulta sup xyz=1

[Citat] [Citat] Sa se calculeze sup xyz atunci cand x+y+z=1 si x>=0, y>=0, z>=0 Problema consta in determinarea maximului functiei de trei variabile f:[0,infinit]^3 --> R, f(x,y,z)=xyz, cu legatura x+y+z=1 Se rezolva cu metoda multiplicatorilor lui Lagrange pentru determinarea punctelor de extrem conditionat aplicata lui f. Se obtine P(1/3,1/3,1/3) punct stationar. Dupa verificare rezulta ca acesta este punct de maxim al functiei. Rezulta sup xyz=1

Metoda este foarte buna avand avantajul ca poate fi folosita in general la astfel de probleme. In cazul de fata care este foarte particular mai putem folosi si inegalitatea mediilor

Rezulta atunci ca supremumul cautat este de fapt maxim, are valoarea

si se atinge intr-adevar in cazul

Generalizare

1.Minimul sumei a n termeni care au produsul constant
Daca x_i>0, i=1,2,..,n, astfel incat x1*x2*...*xn=c(constant) atunci
x1+x2+...+xn are valoarea minima numai pentru x1=x2=...=xn=radical de ord.n(c).

2.Maximul produsului a n factori care au suma constanta
Daca x_i>0, i=1,2,..,n, astfel incat x1+x2+...+xn=c(constant) atunci
x1*x2*...*xn are valoarea maxima numai pentru x1=x2=...=xn=c/n

1. si 2. rezulta din inegalitatea mediilor M(aritm.)>=M(geom.).

Sunt utile si in probleme de geometrie.

De exemplu, astfel se poate arata ca:
a)Dintre toate paralelipipedele dreptunghice de volum dat, cubul are suma tuturor celor 12 muchii minima.
b)Dintre toate triunghiurile de perimetru dat, triunghiul echilateral are aria maxima.