bun� ziua.. luni dau tez� la matematic� (ultima din viaţa mea ) ) �i am câteva mici probleme de rezolvat.. v-a� fi recunosc�tor pentru orice ajutor

1. Fie f un polinom cu coeficienţi întregi, f =

�i

o r�d�cin� raţional� a lui f, unde a �i b sunt numere întregi, cu (a,b) = 1 (adic� fracţia respectiv� e ireductibil�. S� se demonstreze c� (a - k*b) | f(k), oricare ar fi k num�r întreg.

2. S� se demonstreze c� dac� f e un polinom cu coeficienţi întregi �i f(a) �i f(a+1) sunt numere impare, a fiind un num�r întreg, atunci f nu are r�d�cini întregi.

3. Fie f un polinom cu coeficienţi întregi, f diferit de polinomul nul. S� se arate c� nu exist� a,b,c numere întregi diferite dou� câte dou�, astfel încât f(a) = b, f(b) = c �i f(c) = a.


m� chinui de dimineaţ� la ele �i nu iese nimic )

v� mulţumesc.

1. Scazi din f(a/b) pe f(k) ( scris desfasurat) si amplifici apoi cu b^m. Vei obtine ceva de tipul (a - b*k) * P = - b^m * f(k) , P din Z.
Cum (a,b) =1 rezulta (a - b*k, b^m) =1 si deci a - b*k divide f(k)

2. Presupunand ca f admite o radacina intreaga p avem f(X) = g(X) (X - p)
Cum sigur un numar dintre a - p si a + 1 - p este par rezulta ca cel putin unul dintre f(a) si f(a+1) este par

3.Daca f este un polinom cu coeficienti intregi si a, b numere intregi, atunci
(a - b) | f(a) - f(b). Presupunand contrariul deducem (a-b) | (b-c) ; (b-c) | (c-a) ; (c-a) | (a-b) si deci exista m ,n, p din Z a.i (b-c) = m(a-b) , (c-a) = n(b-c) si (a-b) = p(c-a) si deci (a-b)=m*n*p*(a-b) de unde m*n*p =1 si analizezi cazurile aici si o sa obtii contradictia.

le-am rumegat.. mulÅ£umesc foarte mult .. de acum pot aÅ?tepta ceva mai liniÅ?tit teza :D

ok.. sper sÄ? nu mÄ? bateÅ£i dar mai am 2 probleme )

Fie f =

un polinom Å?i

rÄ?dÄ?cinile sale în mulÅ£imea numerelor complexe. SÄ? se calculeze:

a)

b)

am încercat sÄ? aduc la acelaÅ?i numitor (a ieÅ?it ceva monstruos).

bÄ?nui cÄ? e cu relaÅ£iile lui Viete, însÄ? nu am reuÅ?it sÄ? mÄ? apropii de nimic tangibil

din nou, v-aÅ? fi recunoscÄ?tor pentru orice ajutor.

Mulţumesc.

Zisesem io o chestie, dar nu stiu de ce mi-a fost stearsa.

Zisesem asa: daca inmultesti f cu (x-1) iti da x^(n+1) - 1. Si cum x=1 nu e radacina, rezulta ca de fapt radacinile polinomului sunt n din cele n+1 radacini de ordin n+1 ale unitatii (cu exceptia lui 1).

Aceeasi chestie o obtii, de fapt, si daca iti imaginezi f ca pe o suma a unei progresii geometrice de ratie x.

Acum, cum radacinile au proprietatea ca x_k^(n+1) = 1, pentru orice k de la 1 la n, probabil ca poti sa scrii 1 (pt punctul b) ) ca pe x_k ^ (n+1), adica la prima fractie x1^(n+1), etc... Iar la punctul a) 2= 1+ x_k^(n+1) poate da ceva...


Cam atata m-a dus capul... Sper sa te ajute.