Demonstrati ca

X si Y fiind 2 matrice patratice (ordin 2)

Cu singuranta e o greseala. Afirmatia este falsa, cel putin asa cum e formulata acum.

Reluam...aveai dreptate am scris eu gresit

X,Y matrici patratice

Folosind proprietatile determinantilor arati ca

Daca inlocuiesti adunarile cu scaderi in matricea din stanga, numai cele doua matrici din mijlocul membrului drept isi schimba "semnul". Aduni totul si iese. Chestia NU e adevarat pentru matrici de ordin mai mare decat 2 !!!!!

[Citat] Reluam...aveai dreptate am scris eu gresit X,Y matrici patratice

Iese sigur si prin calcul.

Aplicatie: Fie

doua matrice astfel incat

. Sa se arate ca

(ONM 1996)

[Citat] Iese sigur si prin calcul. Aplicatie: Fie doua matrice astfel incat . Sa se arate ca (ONM 1996)

Da, ai dreptate. De altfel, solutia publicata contine solutia prin calcul direct.

Legat de problema mentionata de la ONM, noi zicem ca

indiferent de matricile luate. Ipoteza e superflua.

Legat de propozitia: noi zicem ca indiferent de matricile luate. Ipoteza e superflua.
-----------------------------
Poate ca gresesc, dar eu asa imi aduc aminte ca in demonstrarea inegalitatii este nevoie de AB=BA si elementele matricelor sa fie numere reale. Daca cumva am dreptate, acete doua conditii nu sunt indiferente.
Cu respect

[Citat] Legat de propozitia: noi zicem ca indiferent de matricile luate. Ipoteza e superflua. ----------------------------- Poate ca gresesc, dar eu asa imi aduc aminte ca in demonstrarea inegalitatii este nevoie de AB=BA si elementele matricelor sa fie numere reale. Daca cumva am dreptate, acete doua conditii nu sunt indiferente. Cu respect

Noi ne-am referit la problema respectiva (matrici 2x2 cu elemente reale). Dar aveti dreptate, ne-am inselat, dupa cum se vede din contraexemplul:

Atunci

care are determinantul negativ.

Totusi, conditia de comutativitate nu e necesara. De exemplu, daca matricile A si B sunt simetrice atunci

. Acest fapt este adevarat pentru matrici patratice peste

de dimensiune arbitrara.

Tot nu inteleg ceva. Eu am "invatat" inca prin anii 70 o demonstratie de forma A^2+B^2=(A+iB)*(A-iB) etc. Dar aceasta egalitate are loc numai daca AB=BA. Exista vreo alta demonstratie care nu foloseste comutativitatea?

[Citat] Am intarziat cu rectificare. Domnul Euclid sunteti nemaipomenit (asa se scrie?) de promt! Ce am spus eu este necesara un cazul matricelor de ordinul n?

Pai ne bem si noi cafeaua de dimineata!

Ca sa fiu mai clar, fiecare din propozitiile urmatoare este adevarata pentru orice

.

Propozitia 1.
Fie

. Atunci

Asta se rezolva cu un truc ieftin, dupa cum probabil ca stiti:

Propozitia 2.
Fie

. Atunci

Rezolvarea necesita cunostinte minime de algebra liniara. In principiu reducem problema la cazul cand matricea A este inversabila, dupa care folosim urmatorul fapt: pentru orice matrice

exista o matrice simetrica

astfel incat

Multumesc! Si eu mi-am baut cafeaua si acuma ma duc la scoala
Apropos, Am vazut o postare a dumneavostra la ora o4:25(!!!) Cum faceti?
Spor la treaba