Subiectul 3 ultimul subpunct.

Merita pus in discutie!

Sa se arate ca daca matricea

verfica

, atunci

pt orice n narural mai mare sau egal ca 1.

[Citat] Subiectul 3 ultimul subpunct. Merita pus in discutie! Sa se arate ca daca matricea verfica , atunci pt orice n narural mai mare ca 1.

N-am urmarit subiectul respectiv, s-ar putea sa fie vorba de ceva specific. Un contraexemplu este

cu

si

Cred ca e buna solutia... Totusi vreau o confirmare !

posibila_solutie

:D

Din

poate rezulta si

N-am propus eu problema. Contraexemplul tau pare bun desi ora e inaintata. Ce am scris gresit e ca matricea e definita peste multimea nr complexe, dar nu vad sa fie vre-o problmea de vreme ce nu e vailda pe R.

[Citat] N-am propus eu problema. Contraexemplul tau pare bun desi ora e inaintata. Ce am scris gresit e ca matricea e definita peste multimea nr complexe, dar nu vad sa fie vre-o problmea de vreme ce nu e vailda pe R.

PROBLEMA ESTE GRESITA

Subiectul f de mai sus , de la aceeasi varianta cu inductia , cum se rezolva ?

[Citat] Subiectul f de mai sus , de la aceeasi varianta cu inductia , cum se rezolva ?

Pai propozitia

este

sunt radacinile polinomlui asociat matricei la puterea n.

se verifica in c)

Verificam daca

e adevarata adica trebuie ca sa se verifice ca

si

. A doua e usor verificabila iar pt prima inmultesti relatia din

succesiv cu

si cu

apoi tii cont ca

pentr o matrice A si un numar real x. Bine ca tu ai sa scrii mai detaliat dar asta e ideea

Jucarie mare , nu gluma.

Cam grele dupa parera mea , acest tip de subiecte ( poate inca nu stiu destula teorie , ca sa le inteleg ).

Totusi , am inteles eu , dar nu tot..

Deci practic ( si teoretic ) , demonstram prin inductie matematica.
Adica .. pentru n=1 => x1+x2 = tr(A) si x1x2=det(A) ( deoarece sunt solutiile ecuatiei , si asta rezulta prin relatiile lui Viete ).

Bun presupunem ca x1^n + x2^n = tr(A^n) si x1^n * x2^n = det(A^n)

Ar trebui sa demonstram , pentru ca totul sa fie corect ca :

x1^(n+1) + x2^(n+1) = tr(A^(n+1))
x1^(n+1) * x2^(n+1) = det(A^(n+1))

Ai spus ca la prima e relativ simplu de demonstrat . Am sa incerc o demonstratie , sa vedem cat de simplu este ( am sa scriu mai detaliat ).

practic avem : (x1*x2)^(n+1) = det(A^(n+1));
-stim ca x1x2=det(A) deci => det(A)^(n+1) = det(A^(n+1)).
Din propietatile determinantilor avem : determinantul produsului a doua matrici patratice ( la noi A^n -> care este tot o matrice patratica si A -> matrice patratica ) este egal cu produsul determinantilor acestor matrici .

=> det(A^(n+1)) = det ( A*A^n ) = det A * det ( A^n) , si se demonstreaza ca (x1*x2)^(n+1) = det (A^(n+1)) .. Sau nu ?

Ai zis tu ca pentru x numar real => x * tr(A) = tr(x*A) .. e teorema ceva ? ca eu vad ca aici tr(A) = a+d ..

Dupa ce inmultesc cu x1*x2 => ecuatia x1^(n+1) + x2^(n+2) = tr ( A^(n+1)) , cum o mai scot la capat.

Mi se pare am ambigua problema si rezolvarea pe care tu mi-ai propus-o.

Astept un raspuns ( daca ai timp ).

Urma (trace=tr) este liniara. (Aplicatie de pe spatiul vectorial al matricilor
cu valori in IR).
Deci tr( a A+b B + .. )=a tr(A)+b tr(B)+...
Puterile lui A satisfac o astfel de relatie liniara (cu trei termeni),
deci tr(A^mult) poate fi redusa la puteri mai mici...

Bafta!

[Citat] Ai zis tu ca pentru x numar real => x * tr(A) = tr(x*A) .. e teorema ceva ? ca eu vad ca aici tr(A) = a+d .. Dupa ce inmultesc cu x1*x2 => ecuatia x1^(n+1) + x2^(n+2) = tr ( A^(n+1)) , cum o mai scot la capat. Mi se pare am ambigua problema si rezolvarea pe care tu mi-ai propus-o. Astept un raspuns ( daca ai timp ).

Cum a zis si gauss urma e liniara si fa un calcul sa te convingi :P. Nu am zis sa inmultesti cu produsul ci succesiv cu fiecare cam in genul:

Le aduni si ai

. (1)

La asta folosesti subpunctul anterior, adica

. Acum ca ai o forma a matricei a la n+1 observi ca urma ei este:

care conform proprietati de liniaritate da

care e egala cu

deci a iesit.

Daca mai ai nelamuriri intreaba