Subiectul 3, subpunctul g).

Sa se arate ca daca

e inversabila si

atunci suma elementelor de pe fiecare linie e egala cu 1 si suma elementelor de pe fiecare coloana e egala cu 1.

Cel mai interesant pana acum la sub. 3.

hint: Singura matrice din M cu inversa in M e

[Citat] hint: Singura matrice din M cu inversa in M e

Matricea

este propria sa inversa si element al lui M.

Oh man! :D Am zbarcit-o. Poti posta o solutie?

Fie

liniile lui

vazute ca matrice linie, iar

coloanele lui

vazute ca matrice coloane. Avem atunci

Pe linia

exista un element nenul, altfel

nu ar fi inversabila. Daca ar avea 3 elemente nenule atunci din

rezulta ca

si

au toate elementele nule, contradictie. Daca

are doua elemente nenule atunci elementele corespunzatoare din

si

sunt nule si atunci aceste coloane sunt proportionale, ceea ce conduce la

, contradictie. La fel se arata ca fiecare linie a lui

are exact un element nenul. Cum

este

produsul acestor 3 elemente nenule, fiecare din ele trebuie sa fie 1 si astfel suma elementelor fiecarei linii este 1. Pentru coloane se procedeaza analog folosind

.

Comentariu. Conditia este si suficienta: daca

are suma elementelor pe fiecare linie si pe fiecare coloana 1, atunci X este inversabila si inversa este in M.

Cum s-ar rezolva subpunctul g) de la subiectul IV? Merge acceptat faptul de la c) cum ca f(x)>0 doar daca a=e? Aplicata pentru c,b,d?

[Citat] Cum s-ar rezolva subpunctul g) de la subiectul IV? Merge acceptat faptul de la c) cum ca f(x)>0 doar daca a=e? Aplicata pentru c,b,d?

Se ia x=e in inegalitate si obtinem

. Dar conform d) aplicat pe rand pentru x=b,c,d fiecare din paranteze sunt

. In concluzie fiecare paranteza este 0. Folosim acum punctul f) si deducem b=c=d=e.