La subiectul IV, cum se poate demonstra inegalitatea de la e)

Subiectul IV din care varianta (care URL) ?
(varianta 050?)

Departe ai ajuns ! Subiectul 4) de obicei e "telenovela" cu mai multe "episoade" (subpuncte).

Da, din varianta 50. Deocamdata am reusit o demostratie integrand pe [0,1] inegalitatea ln(1+x^n)<x^n, desi am niste dubii.

Eu inca nu am acces, din neputinta avansata, la subiecte,
dar daca e vorba de inegalitatea

atunci e de remarcat ca aceasta inegalitate e inegalitate STANDARD.
Ea se demonstreaza in mod standard. Fie functia ajutatoare (h de la help)

Atunci avem:

• 
  este de o infinitate de ori derivabila.
  A doua derivata este
  
  .
  
• Deci prima derivata este o functie strict crescatoare.
  Deoarece prima derivata se anuleaza in $0$
  la ``stanga de zero'' e negativa, ``la dreapta'' pozitiva, acesta, zero, e punct de minim pentru
  
  .
  
• Deci
  
  .
  

Prin aceasta metoda se rezolva in general multe inegalitati:
Discutia functiei care trebuie sa fie

.

Dasigur, aici, chestia cu a doua derivata e trasa de par,
se poate incepe cu prima derivata, deoarece semnul ei se analizeaza usor..

[Citat] Eu inca nu am acces, din neputinta avansata, la subiecte, dar daca e vorba de inegalitatea atunci e de remarcat ca aceasta inegalitate e inegalitate STANDARD. Ea se demonstreaza in mod standard.

sau:

Inegalitatea lui Bernoulli

Daca

atunci

.

(presupunem ca o stim, daca nu o demonstram prin inductie)

Acum avem inecuatia

(1) care pentru

se reduce la inegalitatea lui Bernoulli. Trecand la limita (

)relatia (1) obtinem

care se rezolva dupa modelul tipic

si da exact

In acelasi context, 050, mi-ar prinde bine putin ajutor la sub III - g) si la sub IV - f)

Chiar nu stie nimeni IV. f) si g) ?

[Citat] Chiar nu stie nimeni IV. f) si g) ?

f) Integrare prin parti:

g) Este suficient sa aratam ca

Dar conform teoremei de medie, exista

astfel incat

Este suficient sa observam ca

si ca G este continua in 0 cu G(0)=0.

[Citat] In acelasi context, 050, mi-ar prinde bine putin ajutor la sub III - g) si la sub IV - f)

Scuze pentru intarziere. Doar ce am observat intrebarea.

Pentru III g):

Pentru IV f), vedeti raspunsul precedent.