III.f)
presupunem ca exista a apartine lui C a.i. det(I3-aA)=0 =>I3-aA are liniile/coloanele liniar dependente => exista x=(x1,x2,x3) (sub forma de coloana matricea x) a.i. (I3-aA)x=0 =>aAx=x =>aA(aAx)=aAx => (aA)^2x=x
=>(aA)^4x=x contradictie


ne-a zis profu ca asta lipseste la ceea ce ati rezolvat voi pe site...

Nu vad nimic de felul asta la v.83. Esti sigura ca vorbesti de varianta 83/M1-1 ?

[Citat] III.f) presupunem ca exista a apartine lui C a.i. det(I3-aA)=0 =>I3-aA are liniile/coloanele liniar dependente => exista x=(x1,x2,x3) (sub forma de coloana matricea x) a.i. (I3-aA)x=0 =>aAx=x =>aA(aAx)=aAx => (aA)^2x=x =>(aA)^4x=x contradictie ne-a zis profu ca asta lipseste la ceea ce ati rezolvat voi pe site...

Profu' tau ori nu a inteles solutia noastra (nu stim de fapt daca a vazut-o) ori a vrut sa spuna ca AM FI PUTUT PUNE SI O ALTA SOLUTIE.

A noastra este COMPLETA. Ceea pe care o mentionezi trebuie completata astfel

-se incepe presupunand ca acel polinom P(x) nu este constant
-atunci are o radacina complexa, pe care ai notat-o a
-exista un vector NENUL x, ca sa ajungem la contradictie.
-deci polinomul nu este constant, mai ramane doar aratat ca este exact 1.

Ceea ce scrii este doar un alt mod de abordare al problemei si este legat de "vectori si valori proprii" lucruri pe care unii le vor invata in facultati. Noi am preferat sa evitam lucruri neacoperite de materia de liceu. Daca utilizatorii nostri considera util PUTEM REZOLVA ORICARE DIN PROBLEME in multe alte moduri. De pilda va puteti arunca privirea prin variantele 41-46 pe unde ne-am lasat dusi de val si am mai "scapat" mai multe solutii pentru mai multe probleme.

Da. Ne-a zis ca inainte de ceea ce ati dat voi pe site sa scriem asta, pt ca este incomplet

[Citat] Da. Ne-a zis ca inainte de ceea ce ati dat voi pe site sa scriem asta, pt ca este incomplet

Nu suntem siguri ca acest profesor intelege matematica!

si mie mi se pare mult mai logic ceea ce ati facut voi pe site...si i-am zis si lui ca asa ar fi mai usor , insa ne-a zis ca sa facem aia inainte si dupa sa scriem aia de la voi...nush...oricum cum ati rezolvat voi e mult mai logic

[Citat] si mie mi se pare mult mai logic ceea ce ati facut voi pe site...si i-am zis si lui ca asa ar fi mai usor , insa ne-a zis ca sa facem aia inainte si dupa sa scriem aia de la voi...nush...oricum cum ati rezolvat voi e mult mai logic

Nu vrem sa intram in polemica. Este posibil ca profesorul sa nu fi vazut solutia noastra intreaga. Acele randuri pe care le-a indicat profesorul
-pot fi completate la o solutie in modul in care am arata mai sus
-in nici un caz nu se "lipesc" de solutia noastra. Adaugarea acelor randuri la inceputul solutiei noastre sunt ca si cum am coase o maneca la un pantalon complet.

ok ms oricum ca m-ati scos din dilema, pt ca profu nosru are un mod aparte de a ne baga in ceata

Fiind data o matrice patratica

, multimea

se numeste spectrul matricii

. Elementele multimii se numesc valori proprii si coincid cu radacinile polinomului caracteristic

. Acest polinom are coeficientul dominant egal cu unu, deci spectrul este intotdeauna nevid. Chestiile astea se fac in primii ani de facultate (depinde si de facultate) si sunt infinit de utile intr-o gramada de aplicatii. Nu intru in detalii, sunt foarte multe de povestit.

Revenind la subiectele de bac, cam jumatate din problemele de algebra de la subiectul III sunt legate de aceste chestiuni, oarecum vopsite si aranjate ca sa poate fi facute cu materia de liceu. Exemple:

• Polinomul caractersistic al unei matrici 2x2 este
  
  , unde t si d sunt urma respectiv determinantul matricii.
  
• Daca
  
  este un alt polinom atunci
  
  , cu alte cuvinte
  
  daca si numai daca
  
  pentru o valoare y ce verifica
  
  
  

Matricea A din problema cu pricina este nilpotenta, deci are spectrul

. Polinomul ei caracteristic este

, deci pentru orice

avem

. Pentru x=0 faci calculul direct.

OK. Dar nu putem pretinde unuie elev de clasa a XII-a sa studieze nimic mai mult decat programa. Solutia profului tau e corecta si intr-o lume normala ar fi cea pe care am prefera-o si noi. Credem totusi ca autorul problemei (pariem ca e un universitar) vrea sa ne ghideze spre solutia pe care am publicat-o. La ce altceva ar servi punctul precedent al problemei?

Inchei cu precizarea ca, oricat de sever ar putea sa para profu' tau, parerea lui conteaza. Ramane de vazut si cum arata baremurile, si nu in ultimul rand, cine corecteaza lucrarea.