Salut !

Am revenit cu o intrebare ( defapt mai multe ).

La Varianta 13 . Subiectul IV am o mare nedumerire ( cu aproape tot subiectul , ori nu ma duce pe mine capu` la ora asta ).

- la varianta a , niciodata nu ma prind care e smecheria , si ce
trebuie sa fac .. presupun ca nu are rost aici Lagrange.
-la varianta b , iar nu stiu sa rezolv , deoarece nu stiu cam cat este Xn trebuie calculat sau nu ?

Ma ajuta careva ?

Pentru a) observam ca :

si apoi fiecare din inegalitati iese prin aducere la acelasi numitor. In cazul in care preferam cu Lagrange atunci se ia functia

pe intervalul (x,x+1).

Punctul b) se obtine scriind a) succesiv pentru 1,2,3,...,n si apoi adunand inegalitatile obtinute.

la punctul a chiar se poate aplica Lagrange pe intervalul (n,n+1) si iese imediat, desi in clasa a IX se dem prin simpla aducere la acelasi numitor

la b se aplica a, se dau valori de la 1 la n si se insumeaza, daca esti atent apare xn

la c se aplica criteriul clestelui, folosind b

la d se folosest tot b si tot clestele si ne da 2

la e calculezi Yn+1 -Yn care este negativ ,folosim a

la f monotonia iese din e) iar marginirea din b) unde se scade 2radical din n pentru a se obtine Yn

la g se trece la limita in relatia obtinuta la f si iese exact intervalul (-2,1)

eu asa am rezolvat

Da a -ul iese categoric.

Ce nu am inteles , adica nu m-am prins eu de smecherie.


Deci la b incerc sa rezolv in functie de a .

Bun , exemplu :

n=1 .

=> 1 / ( 2 rad (2) ) < 1 / ( rad (2) - 1 ) < 1 / 2 ..

n=2 .

=> 1 / ( 2 rad (3) ) < 1 / ( rad (3) + rad(2) ) < 1 / ( 2 rad (3))

...........

n=n

etc..


si daca le adun iese ceva de genu` :

1 / ( 2 rad (2) ) + 1 / ( 2 rad (3) ) + .. + 1/ ( 2 rad (n+1) ) < 1 / ( rad (2) + 1 ) + 1 / ( rad (3) + rad(2)) + .. + 1/ ( rad (n+1) + rad ( n ) ) < 1/2 + 1 / ( 2 rad ( 3 ) + .. + 1 / ( 2 rad (n)) ..

unde rad() = radical din

Nu cred ca am fost atent , ca nu l-am vazut pe Xn .

[Citat] Da a -ul iese categoric. Ce nu am inteles , adica nu m-am prins eu de smecherie. Deci la b incerc sa rezolv in functie de a . Bun , exemplu : n=1 . => 1 / ( 2 rad (2) ) < 1 / ( rad (2) - 1 ) < 1 / 2 .. n=2 . => 1 / ( 2 rad (3) ) < 1 / ( rad (3) + rad(2) ) < 1 / ( 2 rad (3)) ........... n=n etc.. si daca le adun iese ceva de genu` : 1 / ( 2 rad (2) ) + 1 / ( 2 rad (3) ) + .. + 1/ ( 2 rad (n+1) ) < 1 / ( rad (2) + 1 ) + 1 / ( rad (3) + rad(2)) + .. + 1/ ( rad (n+1) + rad ( n ) ) < 1/2 + 1 / ( 2 rad ( 3 ) + .. + 1 / ( 2 rad (n)) .. unde rad() = radical din Nu cred ca am fost atent , ca nu l-am vazut pe Xn .

Se aduna inegalitatile de la a) cum sunt scrise in enunt, nu inegalitatile auxiliare pe care le-am indicat ca sa demonstram a).

Ori is eu ametit azi , ori nu-mi dau seama ce se intampla.

Dupa ce am calculat , pentru n=1,n exemplul de la punctul a si am adunat inegalitatile , am ajuns la ceva de genu ..

1/(rad 2 ) + 1 / ( rad 3 ) + .. + 1 / ( rad n+1 ) < 2 ( rad n+1) - 2 < Xn...

- dar totusi imi da decat jumate din relatie , sa fi gresit eu ceva ? Mare mirare ..

Care este criterul clestelui , ca jur ca nu-l mai gasesc in culegere .. ( Am auzit de acest criteriu ).

[Citat] Ori is eu ametit azi , ori nu-mi dau seama ce se intampla. Dupa ce am calculat , pentru n=1,n exemplul de la punctul a si am adunat inegalitatile , am ajuns la ceva de genu .. 1/(rad 2 ) + 1 / ( rad 3 ) + .. + 1 / ( rad n+1 ) < 2 ( rad n+1) - 2 < Xn... - dar totusi imi da decat jumate din relatie , sa fi gresit eu ceva ? Mare mirare .. Care este criterul clestelui , ca jur ca nu-l mai gasesc in culegere .. ( Am auzit de acest criteriu ).

Iese si cealalta din partea stanga adunand un 1 in ambii membri ca sa gasim pe x_{n+1}

Da , deci in prima faza mi-a dat :

2 rad ( n+1 ) -2 < Xn

In a doua faza ( gasindu-l pe Xn+1 ) mi-a dat ...

Xn+1 < 2 rad ( n+1 ) -1 .. dar eu trebuie sa demonstrez ca Xn < 2 rad ( n ) -1 .. presupun ca asta iese automat prin inductie .. daca P(1) adevarat , si P(n+1) ( consideram ca este adevarat ) => P(n) adevarat ?

[Citat] Da , deci in prima faza mi-a dat : 2 rad ( n+1 ) -2 < Xn In a doua faza ( gasindu-l pe Xn+1 ) mi-a dat ... Xn+1 < 2 rad ( n+1 ) -1 .. dar eu trebuie sa demonstrez ca Xn < 2 rad ( n ) -1 .. presupun ca asta iese automat prin inductie .. daca P(1) adevarat , si P(n+1) ( consideram ca este adevarat ) => P(n) adevarat ?

Nu este nevoie de inductie. Cum relatia este adevarata pentru orice n, doar schimbi pe n+1 in n peste tot si iese exact ce vrei.

Da , total adevarat , m-am gandit la chestia asta..

Insa am o problema .

Cum calculez urmatoarea limita : limita ( n -> infinit ) din (( 2 * rad(n+1) - 2 ) / rad(n))

Ar trebui practic sa-mi dea 2*limita = 2 ( unde limita sa fie 1 )..

Insa e caz de exceptie , infinit/ infinit , si nu-i gasesc smecherie..

[Citat] Da , total adevarat , m-am gandit la chestia asta.. Insa am o problema . Cum calculez urmatoarea limita : limita ( n -> infinit ) din (( 2 * rad(n+1) - 2 ) / rad(n)) Ar trebui practic sa-mi dea 2*limita = 2 ( unde limita sa fie 1 ).. Insa e caz de exceptie , infinit/ infinit , si nu-i gasesc smecherie..