[Citat] Am uitat sa va scriu ca nu inteleg ce fel de serie este ln[x/(x-1)] si cum se obtine deoarece nu seamana a fi o serie Taylor sau Maclaurin ;doar daca este aplicat un procedeu de transformare al seriei Taylor sau Maclaurin intr-o serie mai rapid convergenta pe care eu nu o stiu!?!Ati putea va rog frumos sa detaliati sau sa-mi dati un indiciu? Altfel iarasi cadem in acelasi pacat si in desert,fara nici o carte de matematica la noi, e posibil sa nu ne aducem aminte de aceasta serie propusa de Dvs. Oricum eu am sa incerc sa verific verdicitatea seriei propuse de Dvs.

Vom folosi notatia

. E clar ca

Scriem seria geometrica:

Integram (nu intru in detalii din ce motiv avem voie):

In fine, inlocuim inapoi

[Citat] Logaritmul natural se refera implicit chiar si prin derivatele lor la numarul "e" si deci necesita demonstratii nu numai a valorii lui "e" ci si a celorlalte afirmatii legate de acest numar.Nu!?!

Ne-ar face placere sa vedem mai des asemenea intrebari, in special din partea elevilor. Se pare ca logaritmul natural si numarul e au aparut in mod independent:

• Logaritmul natural ca arie de regiuni 'sub graficul' functiei
  
  . Cu notatiile moderne,
  
  
  
  
• Numarul e, in urma unui calcul legat de dobanzi ce se acumuleaza 'continuu'. Mai precis, sa zicem ca avem un cont de economii cu soldul egal cu
  
  lei. Daca dobanda anuala este egala cu
  
  si ea se calculeaza o data pe an, peste un an vom avea
  
  
  . Daca, in schimb, dobanda se calculeaza lunar, peste un an vom avea
  
  
  
  si, in general, daca dobanda se calculeaza de
  
  ori pe an, soldul contului de la anul va fi
  
  
  
  Cantitatea de mai sus converge la
  
  .
  
• Un alt mod de a introduce e este urmatorul: dintre toate functiile exponentiale
  
  , numai in cazul
  
  derivata functiei in 1 este egala cu 1.
  

Nu credeti ca mai usor se tine minte valoarea lui "e" decat seria propusa de Dvs.!?!
Repet eu nu am cautat o valoare cat mai exacta a lui ln2 sau a lui ln3 ci am enuntat o inegalitate de incadrare a acestora in limite cat mai stranse apeland la cunostinte de matematica cat mai simple ,mai ales daca ne aflam pe o insula pustie si daca nu tinem minte exact forma seriei.
Numarul "e" se utilizeaza si in teoria radioactivitatii.