Sa se arate ca: 3/4>ln2>13/20 ; 10/9>ln3>82/75
NIHIL SINE DEO!

[Citat] Sa se arate ca: 3/4>ln2>13/20 ; 10/9>ln3>82/75 NIHIL SINE DEO!

Presupunand ca suntem pe o insula pustie si nu avem acces nici macar la un calculator de buzunar, metoda de a rezolva problemele de acest gen este de a aproxima integrale definite.

Folosim

. Integrala este aria subgraficului functiei

pe intervalul [0,1]. Alegem o diviziune de lungime n a intervalului [0,1] si apoi "aproximam" aria subgraficului din interior si din exterior cu dreptunghiuri a caror arie o putem evalua. Mi-e lene sa fac aceste calcule. Dat fiind ca functia f este convexa banuiesc ca pentru aproximarea (numarul mai mare decat logaritmul) din exterior n=4 este suficient, iar pentru aproximarea din interior n=6 sau 7 ar trebui sa fie de ajuns.

Daca vrem inegalitati cat mai stranse, schimbam latura de sus a fiecarui dreptunghi cu un segment de parabola si pentru n=9 (de exemplu) gasim

cu 6 zecimale exacte. Aceasta este de fapt "metoda lui Simpson" de aproximare a integralelor definite.

Exista o metoda mai simpla.Aplicati teorema lui Lagrange.

[Citat] Exista o metoda mai simpla. Aplicati teorema lui Lagrange.

Ne-ati trezit curiozitatea. Puteti sa postati aceasta metoda?

Pentru functia y=lnx aplicati teorema lui Lagrange in intervalul [radical din e,2] respectiv [e,3] unde e = 2,71828....Facand niste majorari si micsorari convenabile spre a transforma pe "e" in fractii se ajunge la inegalitatile din enuntul problemei.

[Citat] Exista o metoda mai simpla.Aplicati teorema lui Lagrange.

Teorema lui Lagrange, aplicata functiei logaritm pe un sir de intervale (fiecare de lungime suficient de mica), este totuna cu metoda mentionata de Pitagora. Daca incercam s-o aplicam direct pe intervalul [1,2], obtinem

De aici rezulta

, un rezultat slab.

[Citat] Pentru functia y=lnx aplicati teorema lui Lagrange in intervalul [radical din e,2] respectiv [e,3] unde e = 2,71828....Facand niste majorari si micsorari convenabile spre a transforma pe "e" in fractii se ajunge la inegalitatile din enuntul problemei.

Daca nu cunoastem valoarea aproximativa a lui

este "imoral" sa pretindem ca am cunoaste valoarea aproximativa a numarului

Am sa detaliez demonstratia:
Fie sirurile a(n)=(1+1/n)^n respectiv b(n)=[1+1/(n-1)]^n. Este evident ca pentru orice n exista urmatorul sir de inegalitati:
[a(1)=2]<[a(2)=9/4]<.....a(n-1)<a(n)<b(n)<b(n-1)<....<[b(3)=27/8]<[b(2)=4]. Deci notand cu e=lim a(n)=lim b(n) cand n tinde la infinit este usor de observat ca exista urmatoarele inegalitati:
2,56<[2,565784...=a(8)=(1+1/8)^8]<e<[2,8865...=b(9)=(1+1/8)^9]<2,89 (1)

2,7<[2,7048...=a(100)=(1+1/100)^100]<[2,7196...=(1+1/1000)^1001]<2,72 (2)

Tinand cont de ingalitatea (1) si conform teoremei lui Lagrange pentru intervalele pe care le-am scris in ultimul mesaj rezulta:
(4-radical din e)/(2 radical din e)>ln 2>(3-radical din e)/2 in care in partea stanga introducem in loc de e pe 2,56 pentru majorare si in partea dreapta introducem in loc de e pe 2,89 pentru micsorare iar de aici se ajunge imediat la 3/4>ln 2>13/20
Tinand cont de ingalitatea (2) si conform teoremei lui Lagrange pentru intervalele pe care le-am scris in ultimul mesaj rezulta:
3/e>ln 3>(6-e)/3 in care in partea stanga introducem in loc de e pe 2,7pentru majorare si in partea dreapta introducem in loc de e pe 2,72 pentru micsorare iar de aici se ajunge imediat la 10/9>ln 2>82/75
Sper ca nu vreti sa va demonstrez si ca (ln x)'=1/x ;ln x este logaritm in baza e din x.Si deasemeni cred ca nu vreti sa va demonstrez si formula binomului lui Newton.
Daca o persoana da o rezolvare a unei probleme in care apare numarul "pi" trebuie sa dea si calculul lui "pi"? Sau si in acest caz este imoral sa vorbim sau sa scriem despre calcularea unei lungimi a taieturii minime a unui triunghi echilateral ,astfel ca sa obtinem doua parti egale, introducand in calcule valoarea unei suprafete in functie de "pi" !?! Poate ca taietura este o portiune dintr-o elipsa sau din alta curba!?!.Demonstrati ca lungimea arcului de cerc corespunzator unui unghi egal cu "pi"/3 e cel mai mic dintre toate alte lungimi de curbe sau de linii drepte.
NIHIL SINE DEO!

[Citat] Am sa detaliez demonstratia: Fie sirurile a(n)=(1+1/n)^n respectiv b(n)=[1+1/(n-1)]^n. Este evident ca pentru orice n exista urmatorul sir de inegalitati: [a(1)=2]<[a(2)=9/4]<.....a(n-1)<a(n)<b(n)<b(n-1)<....<[b(3)=27/8]<[b(2)=4]. Deci notand cu e=lim a(n)=lim b(n) cand n tinde la infinit este usor de observat ca exista urmatoarele inegalitati: 2,56<[2,565784...=a(8)=(1+1/8)^8]<e<[2,8865...=b(9)=(1+1/8)^9]<2,89 (1) 2,7<[2,7048...=a(100)=(1+1/100)^100]<[2,7196...=(1+1/1000)^1001]<2,72 (2) Tinand cont de ingalitatea (1) si conform teoremei lui Lagrange pentru intervalele pe care le-am scris in ultimul mesaj rezulta: (4-radical din e)/(2 radical din e)>ln 2>(3-radical din e)/2 in care in partea stanga introducem in loc de e pe 2,56 pentru majorare si in partea dreapta introducem in loc de e pe 2,89 pentru micsorare iar de aici se ajunge imediat la 3/4>ln 2>13/20 Tinand cont de ingalitatea (2) si conform teoremei lui Lagrange pentru intervalele pe care le-am scris in ultimul mesaj rezulta: 3/e>ln 3>(6-e)/3 in care in partea stanga introducem in loc de e pe 2,7pentru majorare si in partea dreapta introducem in loc de e pe 2,72 pentru micsorare iar de aici se ajunge imediat la 10/9>ln 2>82/75 Sper ca nu vreti sa va demonstrez si ca (ln x)'=1/x ;ln x este logaritm in baza e din x.Si deasemeni cred ca nu vreti sa va demonstrez si formula binomului lui Newton.

Ceea ce spuneti dv. este corect, insa discutabil din punct de vedere practic. Cum aproximati numeric, de exemplu numarul

???

O metoda de aproximare trebuie sa fie:
1. usor de automatizat
2. aplicabila in situatii cat mai generale

Daca nu va satisfac aproximarile via sume Riemann (metoda trapezelor, metoda lui Simpson, etc.), iata o alta metoda care aproximeaza direct logaritmul natural, fara a se referi la numarul e.

Logaritmul natural se poate exprima ca serie de puteri:

Restul de ordinul n se majoreaza cu

iar acest lucru se poate folosi pentru a estima numarul de termeni suficienti pentru a atinge precizia dorita.
Punem pe rand

respectiv

si calculam niste sume partiale. De exemplu, pentru

obtinem

cu o eroare mai mica decat

s.a.m.d.

[Citat] Daca o persoana da o rezolvare a unei probleme in care apare numarul "pi" trebuie sa dea si calculul lui "pi"? Sau si in acest caz este imoral sa vorbim sau sa scriem despre calcularea unei lungimi a taieturii minime a unui triunghi echilateral ,astfel ca sa obtinem doua parti egale, introducand in calcule valoarea unei suprafete in functie de "pi" !?! Poate ca taietura este o portiune dintr-o elipsa sau din alta curba!?!.Demonstrati ca lungimea arcului de cerc corespunzator unui unghi egal cu "pi"/3 e cel mai mic dintre toate alte lungimi de curbe sau de linii drepte. NIHIL SINE DEO!

Nu ati inteles. Argumentul acela se bazeaza pe faptul ca, dintre toate curbele inchise ce marginesc suprafete de arie data, cea de lungime minima este exact cercul. Numarul

face parte din natura, nu l-a inventat nimeni, pur si simplu el exista!

Inca o data, nu ne intelegeti gresit. Vrem sa subliniem doua lucruri:
1. in lumea reala un calculator de buzunar rezolva problema.
2. o persoana mai 'purista' nu vede cu ochi buni numerele zecimale (cu virgula)

ln 2007= ln 9*223=2ln3+ln223 iar ln223<ln225 deci ln223<2ln3+2ln5<2ln3+2lne^2=2ln3+4 si ln223>ln216=3ln2+3ln3 adica:
2ln3+4>ln223>3ln2+3ln3 si in consecinta:
4ln3+4>ln2007>3ln2+5ln3 si folsind inegalitatile mele se obtine in final:
(40/9)+4>ln2007>(39/20)+82/15 si inca 76/9>ln2007>89/12.

Trebuie sa recunosc ca aproximarea Dvs. este mai buna!
In ceea ce priveste numarul "e" el exista in mod natural deoarece folosim logaritmii in baza "e" ca fiind logaritmi naturali iar orice absolvent al un liceu pe profil matematic sau tehnic ar trebui sa cunoasca valoarea acestui numar macar cu aproximatie astfel ca :2,71<e<2,72 precum si faptul ca 3,14<"pi"<3,15.
De fapt cele doua numere transcedentale sunt legate intre ele,foarte natural cu numarul imaginar "i" si numarul intreg -1,prin frumoasa relatie:
e^(i*pi)=-1.
Stiam ca dintre toate poligoanele sau curbele inchise care marginesc o suprafata data,perimetrul minim il are cercul.
Eu nu am facut decat sa propun o problema si nu m-am gandit sa gasesc o formula de calcul pentru lnx.

Am uitat sa va scriu ca nu inteleg ce fel de serie este ln[x/(x-1)] si cum se obtine deoarece nu seamana a fi o serie Taylor sau Maclaurin ;doar daca este aplicat un procedeu de transformare al seriei Taylor sau Maclaurin intr-o serie mai rapid convergenta pe care eu nu o stiu!?!Ati putea va rog frumos sa detaliati sau sa-mi dati un indiciu? Altfel iarasi cadem in acelasi pacat si in desert,fara nici o carte de matematica la noi, e posibil sa nu ne aducem aminte de aceasta serie propusa de Dvs. Oricum eu am sa incerc sa verific verdicitatea seriei propuse de Dvs.
Logaritmul natural se refera implicit chiar si prin derivatele lor la numarul "e" si deci necesita demonstratii nu numai a valorii lui "e" ci si a celorlalte afirmatii legate de acest numar.Nu!?!