Bine ai venit guest
 
User:
Pass:

[Creare cont]
[Am uitat parola]
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
Forum pro-didactica.ro  [Căutare în forum]

Forum » Probleme propuse » Limita de sir
[Subiect nou]   [Răspunde]
[1]
Autor Mesaj
popavm
Grup: membru
Mesaje: 78
11 Mar 2020, 19:43

[Trimite mesaj privat]

Limita de sir    [Editează]  [Citează] 

Problema următoare aparţine propunătorului.
Să se calculeze limita şirului

având termenul general:


---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
alex2009
Grup: membru
Mesaje: 288
06 Mar 2020, 10:50

[Trimite mesaj privat]


Exista o formula simpla pentru limita aceasta?

Eu am gasit



unde
este sirul armonic. Prin soft valoarea aproximativa a limitei este
.


---
Student Automatica
popavm
Grup: membru
Mesaje: 78
06 Mar 2020, 15:31

[Trimite mesaj privat]


Avem următoarea relaţie, care se demonstrează uşor:

Putem scrie:

Descompunem în fracţii simple:

Limita se poate exprima cu ajutorul funcţiei digamma (a se vedea teoria de la funcţia digamma):

unde:

este funcţia psi (funcţia digamma)

este constanta Euler-Mascheroni.


---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
popavm
Grup: membru
Mesaje: 78
06 Mar 2020, 20:50

[Trimite mesaj privat]


Completare
Pentru a calcula limita şirului, folosim următoarele două relaţii. Prima este cunoscută de la teoria funcţiei digamma (vezi pe Internet), iar a doua se demonstrează imediat (prin reducere telescopică).



---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
popavm
Grup: membru
Mesaje: 78
07 Mar 2020, 08:14

[Trimite mesaj privat]


Completare (din nou)
Folosim dezvoltarea completă în fracţii simple, care este:

unde:

Folosind indicaţiile din ultimele trei mesaje, se obţine uşor limita şirului, exprimată cu ajutorul funcţiei digamma.


---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
popavm
Grup: membru
Mesaje: 78
07 Mar 2020, 08:54

[Trimite mesaj privat]


Completare (finală)
Rezultatul obţinut de alex2009 (pentru n tinzând la infinit) este echivalent cu cel indicat de propunător.


---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
alex2009
Grup: membru
Mesaje: 288
11 Mar 2020, 19:43

[Trimite mesaj privat]


Multumesc, tot cu descompunerea in fractii partiale am dedus si eu formula cu sirul armonic. Am crezut ca limita poate fi exprimata cu constante cunoscute (fara functia digamma) si imi scapa ceva. Multumesc.


---
Student Automatica
[1]


Legendă:  Access general  Conţine mesaje necitite  47171 membri, 57855 mesaje.
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ