| Autor |
Mesaj |
|
|
Problema următoare aparţine propunătorului.
Să se calculeze limita şirului
având termenul general:
---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
|
|
|
Exista o formula simpla pentru limita aceasta?
Eu am gasit
unde
este sirul armonic. Prin soft valoarea aproximativa a limitei este
.
---
Student Automatica
|
|
|
Avem următoarea relaţie, care se demonstrează uşor:
Putem scrie:
Descompunem în fracţii simple:
Limita se poate exprima cu ajutorul funcţiei digamma (a se vedea teoria de la funcţia digamma):
unde:
este funcţia psi (funcţia digamma)
este constanta Euler-Mascheroni.
---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
|
|
|
Completare
Pentru a calcula limita şirului, folosim următoarele două relaţii. Prima este cunoscută de la teoria funcţiei digamma (vezi pe Internet), iar a doua se demonstrează imediat (prin reducere telescopică).
---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
|
|
|
Completare (din nou)
Folosim dezvoltarea completă în fracţii simple, care este:
unde:
Folosind indicaţiile din ultimele trei mesaje, se obţine uşor limita şirului, exprimată cu ajutorul funcţiei digamma.
---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
|
|
|
Completare (finală)
Rezultatul obţinut de alex2009 (pentru n tinzând la infinit) este echivalent cu cel indicat de propunător.
---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
|
|
|
Multumesc, tot cu descompunerea in fractii partiale am dedus si eu formula cu sirul armonic. Am crezut ca limita poate fi exprimata cu constante cunoscute (fara functia digamma) si imi scapa ceva. Multumesc.
---
Student Automatica
|
Access general
Conţine mesaje necitite
