Bine ai venit guest
 
User:
Pass:

[Creare cont]
[Am uitat parola]
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
Forum pro-didactica.ro  [Căutare în forum]

Forum » Probleme propuse » Bile in urne (4)
[Subiect nou]   [Răspunde]
[1]
Autor Mesaj
popavm
Grup: membru
Mesaje: 43
15 May 2018, 10:06

[Trimite mesaj privat]

Bile in urne (4)    [Editează]  [Citează] 

Problema urmatoare apartine propunatorului.
Problema
Avem 11 bile care se deosebesc intre ele numai prin culoare: patru bile sunt rosii, trei sunt galbene, doua sunt albastre, una este alba si una este verde. Se distribuie bilele in 5 urne de capacitati 3,3,2,2,1 (prin capacitatea unei urne intelegem numarul maxim de bile care incap in acea urna; capacitatea totala a urnelor este 11). La fiecare distribuire, fiecare urna trebuie sa primeasca numai bile de culori diferite. Presupunem urnele distincte si neordonate (nu are importanta ordinea bilelor in urne). Putem sintetiza datele problemei prin simbolul:

Cerinta problemei este urmatoarea. In cate moduri se pot distribui bilele in urne? Sau, echivalent: care este valoarea simbolului definit mai sus?
Completare
Pentru ca textul problemei sa fie cat mai clar, facem urmatoarele precizari.
1. Remarcile a,b,c de la enuntul problemei Bile in urne (2) raman valabile in cazul de fata.
2. Deosebirea intre problema de fata si problema Bile in urne (1).
Singura deosebire este urmatoarea. La problema Bile in urne (1), la o distribuire a bilelor in urne, fiecare urna poate contine bile de culori diferite sau identice. La problema de fata (Bile in urne (4)), la o distribuire a bilelor in urne, in fiecare urna trebuie introduse numai bile de culori diferite.


---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
popavm
Grup: membru
Mesaje: 43
15 May 2018, 10:06

[Trimite mesaj privat]


Solutia autorului
Notam:

Pentru calculul numarului N folosim un algoritm asemanator cu cel de la problema Bile in urne (1) (metoda de numarare Polya-de Bruijn). Singura deosebire este ca in locul polinoamelor indicatoare de cicluri pentru grupurile simetrice de permutari utilizam polinoamele lui Newton (cele care exprima polinoamele simetrice elementare cu sume de puteri ale nedeterminatelor). Introducerea algoritmului poate fi vazuta usor pe Internet, cautand pe GOOGLE lucrarea: Popa Vasile Mircea Aspecte de combinatorica PDF. La pagina 89 incepe capitolul util pentru aceasta chestiune. Si acum, algoritmul aplicat problemei de fata.
a) Se calculeaza polinomul:

in care intervin polinoamele lui Newton:




b) In polinomul:

facem urmatoarele inlocuiri:




c) Cu teorema multinomului extragem coeficientul monomului:

care este 148. Vom avea egalitatea:

Am obtinut astfel numarul cerut in problema de fata.


---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
[1]


Legendă:  Access general  Conţine mesaje necitite  46741 membri, 57413 mesaje.
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ