|
|
|
|
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
|
|
 |
|
 |
[1]
| Autor |
Mesaj |
|
|
Problema
In cate moduri se poate schimba o bancnota de 1 leu? Se folosesc monede (de 50, 10, 5, 1 bani).
Vasile Mircea Popa, Sibiu.
---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
|
|
|
Poate vă puteți inspira de aici...problema fiind una clasică. https://www.maa.org/frank-morgans-math-chat-293-ways-to-make-change-for-a-dollar
Eu am întâlnit-o prima dată, elev de liceu fiind, în cartea fraților Iaglom... 
|
|
|
Multumesc.
---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
|
|
|
Imi cer scuze, fiind nou pe acest site, nu am mentionat sursa problemei. Formularea ca atare a problemei imi apartine, dar problema este asemanatoare cu cunoscutele probleme "cum schimbam un dolar" sau "cum schimbam o rubla" indicate de dl. Gigel Marga. In plus, in cunoscuta carte "Cum rezolvam o problema" de George Polya (Editura Stiintifica, Bucuresti, 1965) se prezinta o metoda recursiva de calcul, metoda fiind preluata dintr-un articol din revista "The American Mathematical Monthly", Nr. 63, din anul 1956. Mai putem rezolva problema construind un model matematic, un algoritm, un program de calculator si ruland acest program (aici facem apel la informatica si utilizarea calculatorului). Unele pesoane (evident, fara prea mari veleitati matematice) mi-au spus ca ar aborda problema "babeste", construid sistematic lista solutiilor si numarand in final numarul acestor solutii. Dar aceasta "metoda" este falimentara, aproape sigur se vor uita o parte din solutii! In concluzie, metodele ar fi: a)metoda functiei generatoare b)metoda recursiva (Polya) c) cu calculatorul. Cu speranta ca problema va fi rezolvata efectiv de persoane interesate, astept rezultatul problemei (numarul respectiv).
---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
|
|
|
[Citat]
Problema
In cate moduri se poate schimba o bancnota de 1 leu? Se folosesc monede (de 50, 10, 5, 1 bani).
Vasile Mircea Popa, Sibiu. |
O problema care vine din Sibiu!
Facem! Bun venit pe pagina!
Solutiile se vad explicit "sub acest buton"...
Solutia 1 este (0, 0, 0, 100)
Solutia 2 este (0, 0, 1, 95)
Solutia 3 este (0, 0, 2, 90)
Solutia 4 este (0, 0, 3, 85)
Solutia 5 este (0, 0, 4, 80)
Solutia 6 este (0, 0, 5, 75)
Solutia 7 este (0, 0, 6, 70)
Solutia 8 este (0, 0, 7, 65)
Solutia 9 este (0, 0, 8, 60)
Solutia 10 este (0, 0, 9, 55)
Solutia 11 este (0, 0, 10, 50)
Solutia 12 este (0, 0, 11, 45)
Solutia 13 este (0, 0, 12, 40)
Solutia 14 este (0, 0, 13, 35)
Solutia 15 este (0, 0, 14, 30)
Solutia 16 este (0, 0, 15, 25)
Solutia 17 este (0, 0, 16, 20)
Solutia 18 este (0, 0, 17, 15)
Solutia 19 este (0, 0, 18, 10)
Solutia 20 este (0, 0, 19, 5)
Solutia 21 este (0, 0, 20, 0)
Solutia 22 este (0, 1, 0, 90)
Solutia 23 este (0, 1, 1, 85)
Solutia 24 este (0, 1, 2, 80)
Solutia 25 este (0, 1, 3, 75)
Solutia 26 este (0, 1, 4, 70)
Solutia 27 este (0, 1, 5, 65)
Solutia 28 este (0, 1, 6, 60)
Solutia 29 este (0, 1, 7, 55)
Solutia 30 este (0, 1, 8, 50)
Solutia 31 este (0, 1, 9, 45)
Solutia 32 este (0, 1, 10, 40)
Solutia 33 este (0, 1, 11, 35)
Solutia 34 este (0, 1, 12, 30)
Solutia 35 este (0, 1, 13, 25)
Solutia 36 este (0, 1, 14, 20)
Solutia 37 este (0, 1, 15, 15)
Solutia 38 este (0, 1, 16, 10)
Solutia 39 este (0, 1, 17, 5)
Solutia 40 este (0, 1, 18, 0)
Solutia 41 este (0, 2, 0, 80)
Solutia 42 este (0, 2, 1, 75)
Solutia 43 este (0, 2, 2, 70)
Solutia 44 este (0, 2, 3, 65)
Solutia 45 este (0, 2, 4, 60)
Solutia 46 este (0, 2, 5, 55)
Solutia 47 este (0, 2, 6, 50)
Solutia 48 este (0, 2, 7, 45)
Solutia 49 este (0, 2, 8, 40)
Solutia 50 este (0, 2, 9, 35)
Solutia 51 este (0, 2, 10, 30)
Solutia 52 este (0, 2, 11, 25)
Solutia 53 este (0, 2, 12, 20)
Solutia 54 este (0, 2, 13, 15)
Solutia 55 este (0, 2, 14, 10)
Solutia 56 este (0, 2, 15, 5)
Solutia 57 este (0, 2, 16, 0)
Solutia 58 este (0, 3, 0, 70)
Solutia 59 este (0, 3, 1, 65)
Solutia 60 este (0, 3, 2, 60)
Solutia 61 este (0, 3, 3, 55)
Solutia 62 este (0, 3, 4, 50)
Solutia 63 este (0, 3, 5, 45)
Solutia 64 este (0, 3, 6, 40)
Solutia 65 este (0, 3, 7, 35)
Solutia 66 este (0, 3, 8, 30)
Solutia 67 este (0, 3, 9, 25)
Solutia 68 este (0, 3, 10, 20)
Solutia 69 este (0, 3, 11, 15)
Solutia 70 este (0, 3, 12, 10)
Solutia 71 este (0, 3, 13, 5)
Solutia 72 este (0, 3, 14, 0)
Solutia 73 este (0, 4, 0, 60)
Solutia 74 este (0, 4, 1, 55)
Solutia 75 este (0, 4, 2, 50)
Solutia 76 este (0, 4, 3, 45)
Solutia 77 este (0, 4, 4, 40)
Solutia 78 este (0, 4, 5, 35)
Solutia 79 este (0, 4, 6, 30)
Solutia 80 este (0, 4, 7, 25)
Solutia 81 este (0, 4, 8, 20)
Solutia 82 este (0, 4, 9, 15)
Solutia 83 este (0, 4, 10, 10)
Solutia 84 este (0, 4, 11, 5)
Solutia 85 este (0, 4, 12, 0)
Solutia 86 este (0, 5, 0, 50)
Solutia 87 este (0, 5, 1, 45)
Solutia 88 este (0, 5, 2, 40)
Solutia 89 este (0, 5, 3, 35)
Solutia 90 este (0, 5, 4, 30)
Solutia 91 este (0, 5, 5, 25)
Solutia 92 este (0, 5, 6, 20)
Solutia 93 este (0, 5, 7, 15)
Solutia 94 este (0, 5, 8, 10)
Solutia 95 este (0, 5, 9, 5)
Solutia 96 este (0, 5, 10, 0)
Solutia 97 este (0, 6, 0, 40)
Solutia 98 este (0, 6, 1, 35)
Solutia 99 este (0, 6, 2, 30)
Solutia 100 este (0, 6, 3, 25)
Solutia 101 este (0, 6, 4, 20)
Solutia 102 este (0, 6, 5, 15)
Solutia 103 este (0, 6, 6, 10)
Solutia 104 este (0, 6, 7, 5)
Solutia 105 este (0, 6, 8, 0)
Solutia 106 este (0, 7, 0, 30)
Solutia 107 este (0, 7, 1, 25)
Solutia 108 este (0, 7, 2, 20)
Solutia 109 este (0, 7, 3, 15)
Solutia 110 este (0, 7, 4, 10)
Solutia 111 este (0, 7, 5, 5)
Solutia 112 este (0, 7, 6, 0)
Solutia 113 este (0, 8, 0, 20)
Solutia 114 este (0, 8, 1, 15)
Solutia 115 este (0, 8, 2, 10)
Solutia 116 este (0, 8, 3, 5)
Solutia 117 este (0, 8, 4, 0)
Solutia 118 este (0, 9, 0, 10)
Solutia 119 este (0, 9, 1, 5)
Solutia 120 este (0, 9, 2, 0)
Solutia 121 este (0, 10, 0, 0)
Solutia 122 este (1, 0, 0, 50)
Solutia 123 este (1, 0, 1, 45)
Solutia 124 este (1, 0, 2, 40)
Solutia 125 este (1, 0, 3, 35)
Solutia 126 este (1, 0, 4, 30)
Solutia 127 este (1, 0, 5, 25)
Solutia 128 este (1, 0, 6, 20)
Solutia 129 este (1, 0, 7, 15)
Solutia 130 este (1, 0, 8, 10)
Solutia 131 este (1, 0, 9, 5)
Solutia 132 este (1, 0, 10, 0)
Solutia 133 este (1, 1, 0, 40)
Solutia 134 este (1, 1, 1, 35)
Solutia 135 este (1, 1, 2, 30)
Solutia 136 este (1, 1, 3, 25)
Solutia 137 este (1, 1, 4, 20)
Solutia 138 este (1, 1, 5, 15)
Solutia 139 este (1, 1, 6, 10)
Solutia 140 este (1, 1, 7, 5)
Solutia 141 este (1, 1, 8, 0)
Solutia 142 este (1, 2, 0, 30)
Solutia 143 este (1, 2, 1, 25)
Solutia 144 este (1, 2, 2, 20)
Solutia 145 este (1, 2, 3, 15)
Solutia 146 este (1, 2, 4, 10)
Solutia 147 este (1, 2, 5, 5)
Solutia 148 este (1, 2, 6, 0)
Solutia 149 este (1, 3, 0, 20)
Solutia 150 este (1, 3, 1, 15)
Solutia 151 este (1, 3, 2, 10)
Solutia 152 este (1, 3, 3, 5)
Solutia 153 este (1, 3, 4, 0)
Solutia 154 este (1, 4, 0, 10)
Solutia 155 este (1, 4, 1, 5)
Solutia 156 este (1, 4, 2, 0)
Solutia 157 este (1, 5, 0, 0)
Solutia 158 este (2, 0, 0, 0)
---
df (gauss)
|
|
|
Stimate Domnule Profesor Gauss,
Va multumesc in primul rand pentru urarea de bun venit pentru mine pe pagina pro-didactica! Sper sa mai contribui si cu alte probleme simpatice, instructive si nebanale la rubrica Probleme propuse. De asemenea va multumesc pentru frumoasa solutie pe care ati dat-o acestei probleme. Voi prezenta si eu o varianta a acestei solutii. Voi face acest lucru maine, deoarece fiind incepator, intuiesc ca voi avea nevoie de ceva timp pentru redactarea si postarea solutiei. Inca o data, cele mai bune salutari, Vasile Mircea Popa, Sibiu.
---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
|
|
|
Voi prezenta solutiile mele (ale propunatorului) la problema "Schimbam un leu".
Solutia 1
Consideram functia generatoare a numarului de solutii ale ecuatiei diofantice liniare cu solutii in multimea numerelor naturale, care modeleaza problema noastra. Se dezvolta functia in serie (formala) de puteri. Coeficientul lui x^100 va fi solutia problemei noastre. Acest numar este 158. Pe calculator, seria se obtine imediat (am lucrat in Mathcad). De mana, se face "impartirea in unghi", dar este o munca lunga si neplacuta (de evitat...).
Solutia 2
Se foloseste metoda recursiva indicata in cartea lui George Polya (amintita mai sus, la postarea mea anterioara). Calculul se face simplu "de mana" completand un tabel pe o jumatate de pagina A4. Aceasta metoda aplicata problemei noastre se poate vedea in cartea mea Aspecte de combinatorica cu aplicatii in electrotehnica, Editura Universitatii "Lucian Blaga" din Sibiu, 2009. Cartea este vizibila pe Internet si se poate ajunge la ea foarte usor in felul urmator. Se face o cautare cu GOOGLE dupa expresia Popa Vasile Mircea Aspecte de combinatorica PDF. A doua pozitie returnata de GOOGLE (la Digital Library of the LBUS) este chiar aceasta carte. La paginile 105-108 se pot vedea atat metoda recursiva cat si metoda functiei generatoare, amintita mai sus, la Solutia 1.
Solutia 3
Am facut si eu un mic program de calculator, echivalent cu al d-lui prof. Gauss. Am lucrat tot in Mathcad, rezultatul problemei este dat practic instantaneu.
Vasile Mircea Popa, Sibiu
---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
|
|
|
Cateva completari.
Ecuatia diofantica liniara a problemei:
Functia generatoare a numarului de solutii ale ecuatiei:
Dezvoltarea in serie a functiei generatoare:
---
Vasile Mircea Popa, Sibiu
| [1]
|
Legendă:
|
 Access general
|
 Conţine mesaje necitite
|
47493 membri,
58495 mesaje.
|
|
|
|
 |
|
 |
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ
|
