O problema cunoscuta :
In interiorul patratului ABCD se considera punctul E astfel ca

. Aratati ca triunghiul ABE este echilateral.
Provocarea este : dati doua solutii ca la clasa a 6-a , inceput de clasa a 7-a.
(Ca sa fiu mai clar,fara Pitagora, fara trigonometrie!)
Consider ca solutiile sunt de folos pentru elevi si profesorii tineri, abia iesiti de la facultate (si nu numai pentru ei...!)

http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Estes/15degrees/15degreeproblem.html

O altă soluţie simplă se bazează pe considerarea triunghiului echilateral DCF exterior pătratului. Se justifică uşor că AEFD e paralelogram, etc.

În fine, putem pleca de la construcţia punctului E ca fiind acel punct din interiorul pătratului pentru care ABE este echilateral, şi dovedim imediat )folosind triunghiurile isoscele ADE şi BCE) că unghiurile CDE şi DCE au 15 grade. Desigur, punctul cu această ultimă proprietate este unic.

Va multumesc!
Eu m-am gandit si la urmatoarea solutie. Se dovedeste usor ca triunghiul ABE este isoscel. Duc inaltimea AF in triunghiul ADE. Avem ca masura lui DAF este de 15 grade. Duc FM perpendicualara pe AD, EP perpendiculara pe CD si AN perpendiculara pe CD. Cu teorema unghiului de 15 grade in tr. ADF, avem ca FM= 1/4 AD, apoi ca DMFN dreptunghi, P este mijlocul lui CD, deci DN=1/2 AP. Deci FN e linie mijlocie in tr. DEP, adica F e mijl. lui DE. AF inalt si mediana, tr. ADE is. Prin urmare AD=AE.Tr. ABE este echil.