Exista vreun triunghi dreptunghic de arie 2016 cu laturile de lungimi rationale?
Exista vreun triunghi dreptunghic de arie 2015 cu laturile de lungimi rationale?
Exista vreun triunghi dreptunghic de arie 2014 cu laturile de lungimi rationale?
Exista vreun triunghi dreptunghic de arie 2013 cu laturile de lungimi rationale?
Exista vreun triunghi dreptunghic de arie 2012 cu laturile de lungimi rationale?

[Citat] Exista vreun triunghi dreptunghic de arie 2016 cu laturile de lungimi rationale?

Indicatie:
Prin homotetie, scoatem eventual patratele din 2016 si ne intrebam echivalent daca exista un triunghi dreptunghic de arie 14.
Solutia pentru 14 (in loc de 2016) nu este intreaga, dar pentru 2016...
Problema este cea mai simpla din lista, deoarece chiar si o cautare bruta trebuie sa dea roade...

[Citat] Exista vreun triunghi dreptunghic de arie 2014 cu laturile de lungimi rationale?

Triunghiul dreptunghic cu laturile

,

?i

are aria egal? cu 2014.

Inca din secolul al X-a este pusa / cunoscuta problema de mai sus.

Pe pagina
http://www.readcube.com/articles/10.1073/pnas.1216991109
care il reda pe Ye Tian, un tanar matematician chinez,
dam in prima propozitie de...
Mohammed Ben Alhocain, in an Arab manuscript of the 10th century, stated that the principal object of the theory of rational right triangles is to find a square that when increased or diminished by a certain number, m becomes a square [Dickson LE (1971) History of the Theory of Numbers (Chelsea, New York), Vol 2, Chap 16]. In modern language, this object is to find a rational point of infinite order on the elliptic curve . Heegner constructed such rational points in the case that m are primes congruent to 5,7 modulo 8 or twice primes congruent to 3 modulo 8 [Monsky P (1990) Math Z 204:45?68]. We extend Heegner's result to...

(Este astfel esential ca matematicienii tineri sa abordeze probleme importante, ei *pot* la fel de bine sa doboare o bariera sau alta...)

Sa vedem cam cum stau lucrurile cu problema speciala de fata.
(Care este cat de cat transabila cu cunostintele actuale.)

In primul rand am promis ca pentru 2016 avem macar o solutie intreaga.
In cel mai rau caz o cautam cu computerul,
cautam catetele b si c,
stim ca bc = 2 . 2016, deci ii lasam pe b si c sa se plimbe printre divizorii lui 2 . 2016, iata codul:

(20:21) gp > divizori = divisors( 2*2016 )
%7 = [1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 64, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 192, 224, 252, 288, 336, 448, 504, 576, 672, 1008, 1344, 2016, 4032]
(20:21) gp > ld = length( divizori )
%8 = 42
(20:21) gp > for( k = 1, ld, b = divizori[k]; c = 2 * 2016 / b; a = sqrt( b^2 + c^2 ); if( abs( a - round(a) ) < 1e-08, print( "b = ", b, " c = ", c ) ) )
b = 32 c = 126
b = 126 c = 32

Am dat de solutia ( b=32, c=126 ) de exemplu.
Sa vedem ce valoare are a-ul,
(20:24) gp > factor( 32^2 +126^2 )
%9 =
[2 2]
[5 2]
[13 2]
si dam de a=130.

Intr-adevar, tripletul redus, 16, 63, 65 este pitagorean, deoarece
(65-63)(65+63) = 2.128 = 256 = 16.16 .


Mai departe nu mai este asa usor.
Trec la latex.

Cazul 2014:
Fie acele laturi

,

?i

.Putem scrie:

unde

.Rezult?

,

.?tiind c?

atunci rezult? c?

unde

?i deci rezult? ca laturile triunghiului sunt func?ii de

.

[Citat] Cazul 2014: Fie acele laturi , ?i .Putem scrie: unde .Rezult? , .?tiind c? atunci rezult? c? unde ?i deci rezult? ca laturile triunghiului sunt func?ii de .

Nota: Daca va ajuta, puteti scrie mesaje cu "multa matematica" intr-un singur bloc latex, cum am facut si eu mai sus. Singurul neajuns este faptul ca literele specifice limbii române, acest â de exemplu, nu se compileaza. Eu scriu un a in loc de â atunci. Daca chiar vreau un â, trebuie poate sa tiparesc (pe aceasta pagina) ceva de forma \^a .

Cand am vazut solutia...

[Citat] Triunghiul dreptunghic cu laturile are aria egal? cu 2014.

...m-am gandit ca ea a venit pe calea descrisa mai sus, asa ca am inceput sa spun care este drumul. Dupa ce am dat de curbe eliptice, putem folosi computerul pentru a gasi solutia. De exemplu:

sage: N = 2014
sage: E = EllipticCurve( [ -N^2, 0] )
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4056196*x over Rational Field
sage: E.gens()[0]
(4030959573/273529 : 253523742217317/143055667 : 1)
sage: x,y,_ = E.gens()[0]
sage: x
4030959573/273529
sage: y
253523742217317/143055667
sage:
sage: a = (x^2+N^2) / y
sage: b = (x^2-N^2) / y
sage: c = 2*N*x/y
sage: a,b,c
(16322793093085/130755927159, 28868411/240057, 18244332/544687)
sage: a^2 == b^2 + c^2
True
sage: b*c / 2
2014

[Citat]

Am gre?it!

[Citat]

Erat?:
În loc de rela?ia de mai sus se va citi rela?ia

.