Numerotam patratelele de pe o tabla de sah incepand cu coltul din stanga sus,de la stanga spre dreapta,pana la coltul dreapta jos, cu numerele

.Stergem de pe tabla opt numere, astfel ca oricare doua sa nu fie de pe aceeasi linie sau coloana.Cat o fi produsul acestora?

[Citat] Numerotam patratelele de pe o tabla de sah incepand cu coltul din stanga sus,de la stanga spre dreapta,pana la coltul dreapta jos, cu numerele .Stergem de pe tabla opt numere, astfel ca oricare doua sa nu fie de pe aceeasi linie sau coloana.Cat o fi produsul acestora?

Eu as fi vrut o solutie...ca la clasa a 5-a ...

Sa vedem daca sunt apt de clasa a cincea...
Din cate am inteles avem urmatoarele puteri ale lui doi:

00 01 02 03 04 05 06 07
08 09 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63

In loc sa facem produsul din enunt ne legam mai bine de suma puterilor cu pricina.
Alegem deci opt numere din "careul" de mai sus care se afla pe linii si coloane diferite.

Ne uitam la numarul ales din prima linie.
Daca el se afla pe pozitia (1,1) e bine.
Daca nu, el e pe pozitia (1,k) cu k > 1 .
Ne uitam ce numar este pe prima coloana ales, el e undeva pe pozitia (n,1) cu n>1 . Facem atunci urmatoarea schimbare a numerelor alese.

In locul numerelor de pe pozitiile
(1,k) , (n,1) si restul
alegem
(1,1) , (n,k) si restul la fel.
Inlocuind (1,k) cu (1,1) facem suma mai mica cu (k-1).
Inlocuind (n,1) cu (n,k) facem suma mai mare cu (k-1).
Deci la schimbarea in ansamblu nu schimbam suma.

Ne-am aranjat astfel cu primul numar ales (i.e. cu numarul ales de pe prima linie) pe pozitia (1,1).

Procedam la fel si cu celelalte linii.
(Pe a XI-a... scriem permutarea data ca produs de transpozitii.)
Aducem deci numerele alese unul cate unul pe diagonala mare de la (1,1) la (8,8). De fiecare data suma nu se schimba.

Deci suma (puterilor lui doi din problema initiala) este
0 + 9 + 18 + ... + 63
= 9 ( 0+1+2+3+4+5+6+7 )
= 9 ( 0+7 + 1+6 + 2+5 + 3+4 ) ("artificiul" lui Gauss din anul 1777+5 pentru bebelusi)
= 9 ( 7+7+7+7 )
= 9.4.7
= 252 .