Bine ai venit guest
 
User:
Pass:

[Creare cont]
[Am uitat parola]
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
Forum pro-didactica.ro  [Căutare în forum]

Forum » Probleme propuse » Integrala improprie
[Subiect nou]   [Răspunde]
[1]
Autor Mesaj
alex2009
Grup: membru
Mesaje: 288
10 Jul 2013, 21:03

[Trimite mesaj privat]

Integrala improprie    [Editează]  [Citează] 

Fie
un numar natural. Sa se calculeze:



---
Student Automatica
gauss
Grup: Administrator
Mesaje: 6893
10 Jul 2013, 21:03

[Trimite mesaj privat]


[Citat]
Fie
un numar natural. Sa se calculeze:








Partea exponentiala este desigur cea care ne supara cel mai tare.
Articolul din wiki:
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral#Definitions
contine functia Ei (Exponential integral) si versiunea ei E (indice) 1,
el ne trimite in nota 6 de subsol
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral#cite_note-6
la cartea
http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/frameindex.htm
Trebuie sa ajungem la pagina care trebuie in carte, deci e bine sa ne uitam pe:
http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_227.htm
http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_228.htm si dam in sfarsit de
http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_229.htm relatia 5.1.11
si vedem ca relatia de pe wiki este intr-adevar "adevarata" (prin convingere, demonstratia lipseste)...


O cautare mai departe ne da un loc bun de intelegere a lucrurilor:
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.pdf §2.3
Apoi mai trebuie sa vedem ca integrala data nu depinde de n.



Ramane sa ne verificam cu calculatorul, folosesc pari/gp pentru ca eu de obicei vreau sa vad numerele...

(19:59) gp > intnum( x=0.00001, 100, ( exp(-x^2) - 1/(1+x^2) ) / x )
%1 = -0.2885578349505997761343394617
(19:59) gp > %1 * 2
%2 = -0.5771156699011995522686789234
(20:00) gp > Euler
%3 = 0.5772156649015328606065120901


Se confirma numeric

Pentru a vedea de ce, sa calculam

(20:12) gp > A = intnum( x=0.00001, 100, ( exp(-x^2) - 1/(1+x^2) ) / x )
%11 = -0.2885578349505997761343394617
(20:12) gp > B = intnum( x=100, [1], 1/(1+x^2) / x )
%12 = 0.00004999750016665416766658334048
(20:12) gp > ( A-B ) * 2 + Euler
%13 = 2.500000009 E-21

Aici A corespunde integralei de la
eps = 0.00001
pana la infinit o suta din functia din problema.
Nu mergem pana la infinit, dar diferenta nu este mare.
Partea cu exp(-x²) / x putem sa o uitam de la 100 incolo.
Parftea ramasa, cea cu fractia, putem sa o calculam,
am inventat B-ul pentru acest lucru.

Am omis integrala de la 0 la epsilon, dar aceasta este neglijabila,
deoarece partea exponentiala si partea cu 1/ (1+x^2) au cam acelasi inceput Taylor. Sa calculam
astfel rezultatul:

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant


---
df (gauss)
[1]


Legendă:  Access general  Conţine mesaje necitite  47067 membri, 57712 mesaje.
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ