Am dat drumul la calculator ca sa vad cam cum stau lucrurile:
(20:38) gp > sum( k=1, 2012, Mod(k, 30683)^5 )
%2 = Mod(0, 30683)
(20:39) gp > sum( k=1, 2012, Mod(k, 337513)^5 )
%3 = Mod(0, 337513)
(20:39) gp > factor( 30683 )
%4 =
[61 1]
[503 1]
(20:39) gp > factor( 337513 )
%5 =
[11 1]
[61 1]
[503 1]
(20:39) gp > factor(2012)
%6 =
[2 2]
[503 1]
(20:40) gp > factor(2013)
%7 =
[3 1]
[11 1]
[61 1]
Aaa... deci asa stau lucrurile.
Da, se pare ca A-ul se divide cu 11, 61 si 503 din motivul urmator.
Fixam p a fi (pe rand) unul din numerele prime de mai sus (11, 61, 503).
Lasam la o parte din suma termenii ce se divid cu p.
Vedem ca putem grupa atunci termenii cate (p-1), astfel incat avem de cateva ori suma
Suma de mai sus se divide cu p.
Cel mai simplu motiv pe care l-am gasit este asa.
Pentru p fixat avem (p-1) termeni mai sus, ii impartim in perechi de forma
k^5 cu (p-k)^5 .
Cu formula binomiala vedem imediat ca suma se divide cu p.
(Sau modulo p avem direct ca avem de-a face cu k^5 +(-k)^5.)
(Sau folosim x^5 + y^5 = (x+y)(...) .)