Bine ai venit guest
 
User:
Pass:

[Creare cont]
[Am uitat parola]
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
Forum pro-didactica.ro  [Căutare în forum]

Forum » Probleme propuse » Sin si cos
[Subiect nou]   [Răspunde]
[1]
Autor Mesaj
aaaxxfhf
Grup: membru
Mesaje: 9
11 Apr 2012, 12:36

[Trimite mesaj privat]

Sin si cos    [Editează]  [Citează] 

Sa se rezolve ecuatia {sin x} = {cos x}.


---
Aaa
gauss
Grup: Administrator
Mesaje: 6909
10 Apr 2012, 22:33

[Trimite mesaj privat]


Functiile sin si cos stau linistite cu valorile in banda [ -1, 1 ] .
De aceea, putem usor imparti pe cazuri si vedea cum stau lucrurile
pentru cele cateva valori posibile pentru [sin x]
si
pentru cele cateva valori posibile pentru [cos x]
din multimea {-1, 0 ,1 } .

In primul rand, daca [sin x] = 1 sau daca [cos x] = 1
suntem in cazul fericit in care sin x = 1 sau (respectiv) cos x = 1, de unde "cealata" functie trigonometrica in x este 0, deci dam de solutii.

In al doilea rand, vedem ca oricum daca sin x = 0 sau cos x = 0
"cealalta" functie trigonometrica este fie +1, fie -1, deci dam de solutii.

Pana acum am dat de solutiile aflate in multiplii intregi de pi/2 .
De aici incolo consider doar valori ale lui x care evita multiplii intregi de pi/2 .

Ramane sa ne uitam la semnul lui sin x si la cel al lui cos x si sa incercam sa rezolvam ceva.

Daca sin x > 0 SI cos x > 0 , atunci dam de ecuatia
sin x = cos x,
care este satisfacuta in pi/4 in [ 0 , 2pi ) si desigur in celelalte puncte obtinute folosind periodicitatea de lungime 2pi a cadrului.

Daca sin x < 0 SI cos x < 0 , atunci dam de ecuatia
1+sin x = 1+cos x,
deci de "aceeasi ecuatie" sin x = cos x (cu alta restrictie),
care este satisfacuta in 5pi/4 in [ 0 , 2pi ) si desigur in celelalte puncte obtinute folosind periodicitatea de lungime 2pi a cadrului.

Ramane sa ne uitam la cazurile cu semn mixt.
Daca cumva sin x > 0 SI cos x < 0 , atunci dam de ecuatia
sin x = cos x + 1,
echivalent de sin x - cos x = 1,
de aici rezulta dupa ridicarea la patrat 1 - 2 sin(x) cos(x) = 1 ,
de unde dam de anularea pentru sin(x) sau pentru cos(x), dar noi am zis ca nu ne mai legam de asa ceva...

Mai ramane un caz care se trateaza analog.

Solutiile sunt deci
0 , pi/4, pi/2
si punctele obtinute din acestea adunand k.pi, k intreg.



---
df (gauss)
aaaxxfhf
Grup: membru
Mesaje: 9
11 Apr 2012, 12:36

[Trimite mesaj privat]


Multumesc mult!


---
Aaa
[1]


Legendă:  Access general  Conţine mesaje necitite  47184 membri, 57893 mesaje.
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ