Sa se rezolve ecuatia {sin x} = {cos x}.

Functiile sin si cos stau linistite cu valorile in banda [ -1, 1 ] .
De aceea, putem usor imparti pe cazuri si vedea cum stau lucrurile
pentru cele cateva valori posibile pentru [sin x]
si
pentru cele cateva valori posibile pentru [cos x]
din multimea {-1, 0 ,1 } .

In primul rand, daca [sin x] = 1 sau daca [cos x] = 1
suntem in cazul fericit in care sin x = 1 sau (respectiv) cos x = 1, de unde "cealata" functie trigonometrica in x este 0, deci dam de solutii.

In al doilea rand, vedem ca oricum daca sin x = 0 sau cos x = 0
"cealalta" functie trigonometrica este fie +1, fie -1, deci dam de solutii.

Pana acum am dat de solutiile aflate in multiplii intregi de pi/2 .
De aici incolo consider doar valori ale lui x care evita multiplii intregi de pi/2 .

Ramane sa ne uitam la semnul lui sin x si la cel al lui cos x si sa incercam sa rezolvam ceva.

Daca sin x > 0 SI cos x > 0 , atunci dam de ecuatia
sin x = cos x,
care este satisfacuta in pi/4 in [ 0 , 2pi ) si desigur in celelalte puncte obtinute folosind periodicitatea de lungime 2pi a cadrului.

Daca sin x < 0 SI cos x < 0 , atunci dam de ecuatia
1+sin x = 1+cos x,
deci de "aceeasi ecuatie" sin x = cos x (cu alta restrictie),
care este satisfacuta in 5pi/4 in [ 0 , 2pi ) si desigur in celelalte puncte obtinute folosind periodicitatea de lungime 2pi a cadrului.

Ramane sa ne uitam la cazurile cu semn mixt.
Daca cumva sin x > 0 SI cos x < 0 , atunci dam de ecuatia
sin x = cos x + 1,
echivalent de sin x - cos x = 1,
de aici rezulta dupa ridicarea la patrat 1 - 2 sin(x) cos(x) = 1 ,
de unde dam de anularea pentru sin(x) sau pentru cos(x), dar noi am zis ca nu ne mai legam de asa ceva...

Mai ramane un caz care se trateaza analog.

Solutiile sunt deci
0 , pi/4, pi/2
si punctele obtinute din acestea adunand k.pi, k intreg.

Multumesc mult!