Daca punctul

este interior triunghiului echilateral

de latura

, aratati ca

.

Incercare povestita de solutie.

Plecam cu ABC echilateral.
Fie X un punct interior variabil.
Incercam sa maximizam AX + BX + CX.
Fixez pentru asta lungimea lui CX = k.
Prin aceasta ma uit doar la acele X-uri care sunt in interiorul lui ABC pe cercul cu centrul in C si raza k. Este ceva "convex daca ma uit ca matematician din punctul C la cerc", dar ceva "concav daca ma uit din centrul M al segmentului AB la cerc"...
Ma uit acum la familia de elipse ( E(s) ) cu focarele in A si B.
Aici E(s) este elipsa definita ca loc geometric al punctelor Y cu AY + BY = s.
Perpendiculara in M, centrul fiecarei elipse E(s), pe AB taie E(s) in doua puncte, cel de aceeasi parte cu C fata de AB il notam cu V(s). ("Varf".)
Desigur ca AV(s) + BV(s) = s prin definitie.
Suma s este deci cu atat mai mare cu cat MV(s) este mai mare.

Ne asteptam deci sa maximizam (maximul se atinge pe inchiderea triunghiului...) AX + BX + CX pentru X fie pe AC, fie pe BC.

Daca lasam X sa se plimbe pe latura BC, e clar ca maximul lui AX + BX + CX este atins (pe inchiderea triunghiului) in X = B sau in X = C.
Deci AX + BX + CX este mai mic sau egal cu 2, daca lasam si laturile sa intre in afacere. Daca nu, AX + BX + CX < 2 daca X este interior.

Cu acelasi argument, minimul se obtine pentru centrul O al lui ABC,
AO + BO + CO fiind 3. (2/3) . (radical(3)/2) = radical(3).

E tarziu pentru mine, rog a fi corectat daca am gresit...

[Citat] Daca punctul este interior triunghiului echilateral de latura , aratati ca .

Daca G este centrul triunghiului, atunci O se afla in interiorul sau pe laturile unuia din triunghiurile ABG,BCG,CAG. Sa presupunem ca este in triunghiul ABG sau pe o latura a sa. Atunci, daca notez OA=a, OB=b si OC=c, avem:

Se pare ca inegalitatea din enunt trebuie imbunatatita.

excelenta ideea ! solutia mea este cu relatia lui Carnot!

[Citat] Sa presupunem ca este in triunghiul ABG sau pe o latura a sa.

Unde este excelen?a ideii ? ( Aten?íe ! nu vreau s? v? sup?r, nici un pic... a?a cum s-a crezut, uneori.)
Cred ( ?i e normal s? credem împreun?) c? punctul O este oriunde în interiorul lui ABC, adic? nu preferen?ial, ?i nu pe laturile lui.

[Citat] [Citat] Sa presupunem ca este in triunghiul ABG sau pe o latura a sa. Unde este excelen?a ideii ? ( Aten?íe ! nu vreau s? v? sup?r, nici un pic... a?a cum s-a crezut, uneori.) Cred ( ?i e normal s? credem împreun?) c? punctul O este oriunde în interiorul lui ABC, adic? nu preferen?ial, ?i nu pe laturile lui.

Oriunde ar fi punctul O in interiorul triunghiului ABC, el nu are incotro si se gaseste in interiorul sau pe una din laturile unuia din triunghiurile ABG,BCG,CAG (si binenteles nu pe laturile triunghiuului ABC)

Da! Ai pus un pic de ordine . ?i e bine.

Se considera O interior lui ABC si se traseaza AO, BO, CO.

Se traseaza distantele de la O la AB, BC, respectiv AC.

Fie OA`=m, OB`=n, OC`=q aceste distante.

Se stie ca m+n+q= h (inaltimea triunghiului)

Se noteaza AA`=x, BB`=y, CC`=z, atunci : BA`=c-x, CB`=a-y, AC`=b-z

Se scriu relatiile (de inegalitate) dintre laturile celor 6 triunghiuri formate in interiorul lui ABC si , prin insumare, rezulta relatia ceruta in problema.

[ Dar, asa cum s-a vazut, se poate si mai bine !]

cu respect va spun ca...daca citeati cu atentie solutia lui minimarinica va lamureati de la inceput...solutia data e cum nu se poate mai clara...si sa stiti ca de prin 2007 de cand scrie solutii, minimarinica nu prea se joaca...este RIGUROS matematic...
si ca sa fiu drept pana la capat m-a taxat si pe mine deseori...

Spuneam ca nu exclud sa gresesc...

Considerati ca este numai o chestiune de nuan?? (a exprim?rii).

Retrag anumite afirmatii, poate nu tot ce ar trebui retras, dar intentia trebuie remarcata.

va multumesc!