Aratati ca daca :

si p este un numar prim impar, atunci :

este 1 sau p.

Si cu aceasta ocazie, puteti rezolva o problema de la "Problema saptamanii" pe care am postat-o anterior.(Divizibilitate(2) parca)

[Citat] Aratati ca daca : si p este un numar prim impar, atunci : este 1 sau p. Si cu aceasta ocazie, puteti rezolva o problema de la "Problema saptamanii" pe care am postat-o anterior.(Divizibilitate(2) parca)

Folosind teorema lui Bezout, polinomul

se divide la

. De aici rezulta ca

si afirmatia din enunt rezulta observand ca

[Citat] [Citat] Aratati ca daca : si p este un numar prim impar, atunci : este 1 sau p. Si cu aceasta ocazie, puteti rezolva o problema de la "Problema saptamanii" pe care am postat-o anterior.(Divizibilitate(2) parca) Folosind teorema lui Bezout, polinomul se divide la . De aici rezulta ca si afirmatia din enunt rezulta observand ca

La solutia asta nu ma gandisem. Eu gasisem alta:
Fie

.
Atunci d/(a+b), deci d divide

, deci d divide

Insa d/

Prin scadere obtinem ca d divide

s.a.m.d.
Multumesc !

[Citat] [Citat] [Citat] Aratati ca daca : si p este un numar prim impar, atunci : este 1 sau p. Si cu aceasta ocazie, puteti rezolva o problema de la "Problema saptamanii" pe care am postat-o anterior.(Divizibilitate(2) parca) Folosind teorema lui Bezout, polinomul se divide la . De aici rezulta ca si afirmatia din enunt rezulta observand ca La solutia asta nu ma gandisem. Eu gasisem alta: Fie . Atunci d/(a+b), deci d divide , deci d divide Insa d/ Prin scadere obtinem ca d divide s.a.m.d. Multumesc !

Acel s.a.m.d. nu este chiar asa de usor de scris in termeni matematici.

[Citat] [Citat] [Citat] [Citat] Aratati ca daca : si p este un numar prim impar, atunci : este 1 sau p. Si cu aceasta ocazie, puteti rezolva o problema de la "Problema saptamanii" pe care am postat-o anterior.(Divizibilitate(2) parca) Folosind teorema lui Bezout, polinomul se divide la . De aici rezulta ca si afirmatia din enunt rezulta observand ca La solutia asta nu ma gandisem. Eu gasisem alta: Fie . Atunci d/(a+b), deci d divide , deci d divide Insa d/ Prin scadere obtinem ca d divide s.a.m.d. Multumesc ! Acel s.a.m.d. nu este chiar asa de usor de scris in termeni matematici.

Imi vine atat de greu sa scriu in Latex ! O sa incerc:
Prin scadere obtinem ca d divide

d nu divide pe b, deci rezulta ca d o sa divida pe :

Deoarece d divide pe a+b rezulta ca d divide pe

. prin scadere se obtine ca d divide pe :

si tot asa.
In cele din urma se ajunge la faptul ca d divide pe pb si cum d nu il divide pe b rezulta ca d este un divizor al lui p, adica 1 sau p.
Faptul ca d nu il divide pe b este evident, deoarece d divide a+b si deci il va divide si pe a asadar a si b ar avea un divizor comun. Sper sa nu fi gresit ceva in redactare.

O solutie alternativa care se afla cumva "la mijloc" intre cele doua solutii de mai sus ar fi urmatoarea:

Fie q>1 o putere a unui numar prim ce divide (exact) a+b.
Atunci avem b=-a modulo q, deci

Daca q este o putere de numar prim ce divide (exact) si fractia de plecare din formula de mai sus, atunci q divide p, deoarece q este prim cu a. Deci q este p - daca exista.
cmmdc cerut este deci fie 1, fie p.


(Acel s.a.m.d. de mai sus este intr-adevar greu de scris pe hartie fara a izola o propozitie ce trebuie demonstrata prin inductie. Dar calculul de congruente modulo d ajunge pentru a scapa usor de corvoada.)

Oricum, frumoase ambele demonstratii pe care le-am primit.
Multumesc !