Se d? un cerc împreun? cu un segment situat în interiorul s?u. S? se construiasc? cu rigla ?i compasul cele dou? cercuri tangente la cerc care trec prin extremit??ile segmentului dat.

N.B. Sunt sigur c? e o problem? clasic?, dar nu am g?sit nici o referin??.

Nu cred ca am inteles cerinta. Fiind dat un cerc si un punct in interior, exista o infinitate de cercuri tangente la cercul dat si care trec prin punctul dat. Sau trebuie sa fie tangente si segmentului?

[Citat] Nu cred ca am inteles cerinta. Fiind dat un cerc si un punct in interior, exista o infinitate de cercuri tangente la cercul dat si care trec prin punctul dat. Sau trebuie sa fie tangente si segmentului?

Sunt doua puncte: extremitatile segmentului situat in interiorul cercului. cercul cautat trebuie sa treaca prin aceste DOUA puncte fixe si sa fie, in plus, tangent la cercul dat. Am crezut ca enuntul era mai clar in forma lui actuala. "Mai-binele" este dusmanul "binelui".

Fie A,B punctele din interiorul cercului. Luam un punct arbitrar C pe cerc si construim cercul circumscris triunghiului ABC. Acesta mai intersecteaza cercul initial in D. Fie M intersectia dreptelor AB si CD. Din puterea punctului, avem

Ducem din M tangente la cercul initial in punctele P,Q. Atunci cercurile circumscrise triunghiurilor ABP si ABQ sunt cercurile cautate, deoarece

.
Desigur, daca AB si CD sunt paralele, centrul cercului initial se afla pe mediatoarea segmentului AB si atunci constructia e evidenta.



Uploaded with ImageShack.us

Am cautat si eu o solutie, cu atat mai mult cu cat mai exista un lemn in foc pe aceeasi tema pe
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=42&ID=29751
si mi-am dorit sa fac rost de o constructie geometrica de pe care sa am acces la aria galbena din poza de pe link cu ajutorul unei formule. Alternativ ofer urmatoarea solutie:

Ganduri premergatoare. Sa zicem ca avem desenata solutia finala, de exemplu ca in poza excelenta de mai sus. Eu am nevoie numai de cercurile rosii (ce trebuie construite, de cercul initial (C), de centrul lui pe care il notez cu O si de unul sau ambele puncte in care AB taie cercul initial, le notez cu X si Y. Ideea care mi s-a parut mie cea mai naturala a fost sa aplic o inversiune (I) cu centrul X (sau Y) de factor k cu kk = XA.XB.
In acest mod cele doua cercuri rosii stau ca multime pe loc (A isi schimba locul cu B "in ambele cercuri rosii") iar cercul initial (C) se va duce intr-o dreapta (D) perpendiculara pe XO si cu control al intersectiei cu XO. Daca nu stim cercurile rosii acum, putem incerca sa le gasim cautandu-le ca trecand prin A si B si fiind tangente la (D). Am dezamorsat problema de asa natura incat sa o putem lasa ca tema pentru clasa a VI-a sa zicem.

Constructia alternativa:
Fie (C) cercul dat de centru O. Fie AB un segment format din punctele A, B interioare cercului. Fie X,Y intersectiile dreptei AB cu (C), astfel incat pentru o orientare convenabila aleasa pe dreapta AB punctele sa fie "in ordinea" X,A,B,Y.
Trasam dreapta XO.
Aceasta mai taie cercul in X' astfel incat XX' este diametru.
Trasam BX'.
Ducem prin A antiparalela AS la BX', unde S este pe diametrul XX'. Taiem pentru aceasta cercul prin A,B,X' cu diametrul XX' si dam de S. Puterea punctului X fata de cercul prin A,B,X',S ne arata ca avem XA.XB = XS.XX' .

Ducem prin S perpendiculara pe diametrul XX' si o notam cu D(S).

Cele doua cercuri "rosii" cautate sunt atunci cele doua cercuri prin A si B tangente la dreapta D(S). Cum se construieste acest cerc? (Exercitiu de clasa a VI-a de calibrul celui ce cere construirea unui patrat de aceeasi arie cu un dreptunghi dat.)

N.B. Putem face aceeasi constructie cu diametrul YY', "omologul diplomatic" al lui S este un punct pe care il notam cu T, iar dreapta corespunzatoare este D(T). Am construit astfel cele doua tangente la ambele cercuri "rosii".

(Sper ca nu am gresit pe drumuri, tocmai am ajuns acasa dupa o noapte de lucru dupa o zin in care a trebuit sa ma cert cu sefu'. Astia la lucru nici sa se certe nu stiu. Parca au saoh in pac. Problema de fata mi-a salvat ziua, in sfarsit ma pot culca si eu cu un gand uman. Mersi mult pentru postarile de mai sus!)

N.B.2. Numai asa de curiozitate, este poza de mai sus un caz "limita" al teoremei celor 6 cercuri a lui Miquel (sau a celor patru daca ne uitam numai la cele rosii din linkul urmator)?!
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Miquel%27s_theorem

(Cred ca e clar de ce geometria sintetica salveaza buna dispozitie...)