[Citat]
Sa se rezolve in multimea numerelor intregi ecuatia
stiind ca
sunt numere diferite de zero si prime intre ele. |
(Ca de obicei, partea rosie a lucurilor face ceva probleme...)
Problema data este legata de o problema standard in geometria algebrica, dupa ce o reformulam dupa cum urmeaza:
Daca z=0, atunci desigur ca x=y=0 (scufundand relatia in numere reale), lucru exclus in enunt... Altfel z este nenul, putem sa-l plasam ca numitor intr-o fractie, notam
u = x/z
v = y/z
dam de elipsa de ecuatie
si cautam punctele rationale (cu coordonate in Q) de pe ea. Deoarece gasim repede punctul rational (1,1) pe ea, incercam sa le gasim pe toate.
Procedeul se numeste din motive greu de explicat (bi)rationalizare, si vrea sa gasim o relatie de bijectivitate intre (E) si o dreapta (eventual data ca fiind scufundata in acelasi plan), de obicei cautand bijectiviatea printr-o constructie din geometria (algebrica) de prin jur.
Aceasta constructie poate fi astfel:
Fie (T) tangenta la (E) in punctul rational fixat (1,1) de pe (E).
Ducem (T') dreapta paralela cu (T) prin (0,0).
Atunci o dreapta arbitrara (D(t)) ce trece prin (1,1) si printr-un punct rational (parametrizat uzual) de pe (T')
va taia (E) in inca un punct *rational*,
deoarece rezolvam un sistem ce se reduce la o ecuatie de gradul doi care are deja o radacina rationala (ce provine din (1,1)).
Astfel obtinem bijectia...
(Va rog a face o poza proprie cu o elipsa turtita mai mult pe axa Oy, ce contine (1,1).)
In cazul nostru, calculele le face cel mai bine computerul.
Tangenta (T) se obtine prin "dedublare" sau prin luarea partii liniare din dezvoltarea Taylor in jurul lui (1,1), iar (T') din aceasta prin ignorarea partii constante. (T') are ecuatia (dedublare) 3u+4v=0. Un punct tipic de pe aceasta dreapta are coordinatele (4t, -3t).
Cu computerul avem un program simplu de urmat...
sage: var( 'u,v' )
(u, v)
sage: f(u,v) = 3*u^2 + 4*v^2 -7
sage: taylor( f(u,v), (u,1), (v,1), 1 )
6*u + 8*v - 14
sage: var( 's,t' )
(s, t)
sage: solve( f( (1-s)*1 + s*(4*t) , (1-s)*1 + s*(-3*t) ) == 0, s )
[s == 2/(12*t^2 + 1), s == 0]
sage: s = 2/(12*t^2 + 1)
sage: ( (1-s)*1 + s*(4*t) ) . factor()
(12*t^2 + 8*t - 1)/(12*t^2 + 1)
sage: ( (1-s)*1 + s*(-3*t) ) . factor()
(12*t^2 - 6*t - 1)/(12*t^2 + 1)
sage:
Daca notam acum t=m/n cu m,n numere intregi prime intre ele, n>0, obtinem solutia din Z:
Din pacate, ne asteptam imediat sa avem probleme cu primalitatea relativa ceruta "peste numerele prime" ce divid "discriminantul" curbei date (ce-o fi si ala nu pot sa explic fara reduceri de curbe modulo p numar prim). Aceste numere prime sunt 2,3,7... Sa vedem daca avem probleme. (Daca n este par, avem deja probleme.)
Sa cautam deci posibilii divizori comuni.
Fie d un divizor comun
prim pentru x,y,z de mai sus.
Atunci:
d divide x-y, deci divide 14mn.
d divide x-z, deci divide 8mn-2nn=2n(4m-n).
daca d nu este intre 2,3,7 atunci d divide 14mn, deci exact unul din numerele m si n, deci nu divide z.
daca d este 2 trebuie sa vedem daca putem simplifica x,y,z cu 2. da, putem, trebuie sa distingem cazul n par (si m impar) de cazul n impar (si m arbitrar). Deci impartim familia in doua subfamilii, luand
(prima subfamilie) n = 2n' si m = (2m'+1)
(a doua subfamilie) n = (2n'+1) si m = m'
Nu mai scriu efectiv, in primul caz trebuie sa impartim cu 4 pentru a obtine solutia "primitiva" peste ZZ a ecuatiei homogene date.
daca d este 3, atunci din d divide z rezulta n = 3n' mai intai. Da, atunci automat avem si x si y divizibile prin 3. Asa cum a fost pusa problema trebuie sa impartim fiecare familie de la impartirea fata de numarul prim doi in cate doua subsubfamilii...
(prima subsubfamilie din prima subfamilie) n' = 3n'' si m' = 3m''+ 1
(a doua subsubfamilie din prima subfamilie) n' = 3n'' si m' = 3m''+ 2
si ceva cam la fel pentru rest...
daca d este 7 atunci trebuie sa vedem pentru ce perechi m,n modulo 7 se anuleaza cele trei forme patratice in doua variabile. Deoarece 12 si -9 sunt egale modulo 7 faptul ca z se divide cu 7 revine la (n-3m)(n+3m)=0.
Deja impartirea in subfamilii de dragul de a da de solutii primitive devine o chestie din "geometria enumerativa" care poate nu trebuie urmarita mai departe.
Nota: Si in parametrizarea din solutia de mai sus,
[Citat]
cu
prime intre ele |
daca luam m=n=1 obtinem trei numere divizibile cu 7... Parametrizarea de mai sus este insa definitiv mai buna deoarece rezolva din prima problemele enumeratorii peste 2 si 3.
Trebuie sa merg azi la lucru, asa ca nu mai am timp sa caut legatura. Am vrut doar sa dau pe baza unui exemplu o schita a ce se numeste rationalizarea curbelor (algebrice de gen zero. Definitia genului unei curbe este prima grija in geometria algebrica. Aceasta parte cu multe subparti are din nou traditie in Romania de inainte si de dupa exod.)
Pentru a plasa problema data intr-o poza tematica mai atractiva, iata cam pe unde trebuie sa cautam in timp lucruri asemanatoare...
http://de.wikipedia.org/wiki/Maria_Gaetana_Agnesi
(Numai o poza si o piatra de hotar in timp..)
Access general
Conţine mesaje necitite
