Cum sa rezolv limita cand n->infinit din integrala din t*sin la puterea n din t dt?

Scuze,nu stiu sa scriu cu codul Latex

Din pacate problema nu este chiar bine definita, integrala de mai sus este o integrala nedefinita? Cred ca nu. Daca avem de-a face cu o integrala definita, de exemplu de la a la b, a<b numere reale fixate, atunci avem de evaluat (nu de calculat)

Limita este zero, iata cum se arata acest lucru (facand majorari grosiere).
In primul rand putem majora pentru fiecare n integrala data, in modul...
Pentru aceasta sa gasim un k, astfel ca a,b sa fie in modul sub 2k pi.
(k este fix tot timpul.)

(Am incercat sa nu sar nici un pas. De ce sa sar de fapt, nu suntem nici in clasa nici intr-o publicatie...)
Integrala pe care am notat-o eu cu I(n) mai sus converge la 0 pentru n spre infinit. Pentru aceasta, fie o calculam folosind recursiunea tipica cu pasul doi, fie folosim orb si calitativ doar mai departe majorari de forma urmatoare...
Ne dam un epsilon > 0 (mai mic decat 1). Impartim intervalul [0,pi/2] in doua parti, prima [0, pi/2-epsilon] , a doua restul. Atunci...

Folosim criteriul clestelui.
Trecem la limita cu n spre infinit in partile cea mai din dreapta si stanga.
Obtinem ca
0
este mai mic sau egal cu
lim I(n)
este mai mic sau egal decat
0 + epsilon.

(Epsilon nu are nimic de a face cu n, se misca la voia noastra.)
Deoarece inegalitatea de mai sus are loc pentru orice epsilon > 0 rezulta ca lim I(n) = 0.