1)Fie triunghiul ABC si punctele D apartine [BC],M apartine[AD],astfel incat BD/DC=1/2,AM/MD=2.Determinati:
a)alfa,beta numere reale pentru care AM vector+BM vector+CM vector=alfaAB vector+betaAC vector
b)daca O este un punct oarecare din plan,scrieti vectorul OM in functie de vectorii OA,OB,OC

2)Fie ABC un triunghi.Determinati punctul D,pentru care 2DA vector+3DB vector-5DC vector=vectorul nul

[Citat] (1) Fie triunghiul ABC si punctele D apartine [BC], astfel incat BD/DC = 1/2 , M apartine [AD], astfel incat AM/MD = 2 . (a) Determinati alfa, beta numere reale pentru care (relatie vectoriala) (b) Daca O este un punct oarecare din plan, scrieti vectorul OM in functie de vectorii OA, OB, OC. (2) Fie ABC un triunghi. Determinati punctul D pentru care (relatie vectoriala)

(1) In secolul acesta cred ca e voie sa nu mai punem sageti peste vectori. (Dar trebuie sa stim cu ce lucram.)
Din (relatia intre lungimi!) BD:DC = 1:2 rezulta (proportii derivate)
BD : ( BD + DC ) = 1 : ( 1 + 2 ) = 1:3 ,
Deci BD = ( 1/3 ) BC . De aici rezulta pentru orice punct X (Scriem relatii vectoriale pentru vectori ce pleaca din X):

Este clar acest lucru? Este cumva o formula in manual care sa conduca la relatia asta direct?

Se procedeaza acum la fel pentru a obtine XM in functie de XA si XD calculat mai sus. Care este deci formula pentru XM?

Ce obtinem daca particularizam X=A ?
(b) a fost rezolvat deja cu X in loc de O... (Nu stiu daca am facut un lucru prea didactic, dar mai bine asa, in mintea mea este O intotdeauna originea... Pentru mine as fi luat X.)


(2) Relatia data se rescrie

Fie V punctul de pe segmentul AB ce imparte AB in proportia 3:2.
Indiferent de modul in care luam un punct D in plan, partea stanga este vectorul DV. Dar DV coincide cu DC daca si numai daca C=V.
Ecuatia data nu are solutii daca C nu este V, are o infinitatea de solutii (orice D este bun) daca C este V.