Fie ABC un triunghi inscris in

.Perpendiculara din B pe diametrul [AD] intersecteaza dreapta AD in E,iar

in F.Paralele duse prin F la CD,respectiv CA intersecteaza CA,respectiv CD in G respectiv H.Sa se demonstreze ca E,G,H sunt coliniare.

PS.Domnul profesor Batranetu poate isi aminteste,e aceeasi problema care ne-a necajit asta vara vreo trei zile,apoi am abandonat-o.

Sper ca am inteles bine problema, asa ca postez "orb" o solutie, daca invat in cateva ore cum sa folosesc <asymptote> (program de desenat) si cum inserez aici cele desenate, vine si o mica poza...

De punctul B nu avem nevoie prea mare, asa ca reformulez problema.

Se da un cerc de diametru AD.

Pe cerc se iau punctele C si F.
(Eu le-am luat pe acelasi semicerc fata de diametrul AD, sper ca rationamentul ce vine nu depinde de aceasta alegere. Ma mai conving mai tarziu...)

Fie E piciorul perpendicularei din F pe AD.

Mai construim dreptunghiul de diagomala CF care "se lipeste bine" in C de triunghiul dreptunghic ACD (mai exact in enuntul de mai sus). Il notam CHFG, unde G este pe AC si H pe CD.

De aratat:
E,G,H sunt coliniare.

Solutie (schita):

Mai devreme sau mai tarziu este util sa consideram si punctul F' (diferit de F), al doilea punct in care GF taie cercul de diametru AD.
Din constructie, patrulaterul FCDF' este trapez inscriptibil, deci isoscel.

Calculam unghiul <(EGH)
drept suma unghiurilor
<(EGF) si
<(FGH).

In patrulaterul inscriptibil AEGF
- avand <(AEF) = <(AGF) = (unghi drept) -
avem deci (ca masuri, dar nu complic notatia...)

Pe de alta parte, in dreptunghiul CHFG avem:

ultima egalitate deoarece FCDF' este trapez isoscel.

Suma celor doua unghiuri este deci (pi), deci unghiul <(EGH) este de masura (pi), de unde colinearitatea ceruta.

Putem ar?ta c? EG ?i GH sunt amândou? paralele cu BC.

Pentru EG: patrulaterul AEGF este inscriptibil, deci unghiurile FEG si FAG sunt congruente. Dar FAG=FAC=FBC, de unde concluzia.

Pentru GH: GH e diagonala intr-un dreptunghi, deci FGH=GFC=1/2(arc(SD)+arc(DC)), unde S e intersectia dreptei FG cu cercul. Daca aceeasi dreapta taie BC in T, atunci FTC=1/2(arc(FC)+arc(BS)).
Ramane doar sa observam ca arc(BS)=arc(CD) si arc(SD)=arc(FC).

PS. Scuze pentru redactare fara Latex, eram foarte grabit

Multumesc si multumesc(nu-i chiar niciun bai,ma descurc foarte bine si fara "Latex")